15. Бинарная операция и ее основное множество. Способы задания бинарной операции. Таблица Кэли. Операционный квадрат таблицы Кэли.

__Бинарная операция F: A´A→A — это отображение множества A´A в множество A, при этом образ пары (x, y) обозначим, например, x · y. Здесь · — символ операции, а A — произвольное непустое множество.

___Напоминание: A´A — множество всех упорядоченных пар (x, y) — таких, что x, y Î A. Отображение – полностью определенное функциональное соответствие.

__Непустое множество A называется основным множеством операции.

___Вместо операции · может быть вставлена любая из операций +, –, *, È, Ç, Å, Ä, ° и т.д. и т.п.).

__Замечание: Результат бинарной операции F: A´A→A принадлежит основному множеству.

___Примеры: Операция «+» определена на множестве N и НЕ определена на любом ограниченном множестве А={1,2,3}.

1+3=4, 4 Ï А

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ::: Формулой. Пример1: f = a «авторитет» b на A={Саша, Даша, Петя}

Пример2: f=(a+ b) mod₃ на A={0,1,2}

___Списком троек (1-ый аргумент, 2-ой аргумент, значение).

Пример1: (Саши, Даши, Даша), (Саши, Маши, Саша), (Саши, Саши, Саша), (Даши, Маши, Саша), (Даши, Даша, Даша), (Маши, Маши, Петя), (Пети, Даши, Петя), (Пети, Маши, Петя), (Пети, Саши, Саша), (Петя, Петя, Саша)

Пример2: (0,0,0), (0,1,1), (0,2,2,), (1,0,1), (1,1,2), (1,2,0), (2,0,2), (2,1,0), (2,2,1)

___Таблицей Кэли - есть таблица n´n, в которой элемент x·y Î A находится в клетке пересечения строки x и столбца y.

(ТАБЛ (Л-3(25)(38)

16. Свойства бинарных операций: ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность, существование нейтрального и обратного элементов, разрешимость уравнений.

1)_Ассоциативность

(a F b) F c = a F (b F c)

2)_Коммутативность a F b = b F a

3)__Дистрибутивность F относительно G

Слева a F ( b G c ) = (a F b) G (a F c)

Справа (a G b) F c = (a F c) G (b F c)

4)__Существование нейтрального элемента

a F e = e F a = a

5)__Существование обратного элемента

а F а^# = а^# F а = e

6)__Разрешимость уравнений

a · x = b, y · a = b

17. Алгебраическая система (алгебра). Носитель, основное множество алгебры. Сигнатура алгебры. Универсальная алгебра (собственно алгебра) и реляционная система (модель) как разновидности алгебраической системы (алгебры).

__Множество M с заданными на нем операциями {j₁, j₂,…, j_m} называется алгеброй. Обозначение алгебры: A = (M; j₁, j₂,…, j_m), где M — называется основным множеством (несущим множеством, носителем) алгебры, а S = {j₁, j₂,…, j_m} — сигнатурой алгебры А.

__Множество M с заданными на нем отношениями {R₁, R₂,…, R_n} называется моделью. Обозначение модели: M = (M; R₁, R₂,…, R_n), где M — несущее множество (универсум) модели, а S = { R₁, R₂,…, R_n} — сигнатурой модели M.

___Множество M с заданными на нем операциями {j₁, j₂,…, j_m} и отношениями {R₁, R₂,…, R_n} называется алгебраической системой или алгебраической структурой. Обозначение алгебраической структуры: A = (M; j₁, j₂,…, j_m; R₁, R₂,…, R_n).