23. Отображения. Изоморфизм. Автоморфизм. Гомоморфизм. Эпиморфизм. Эндоморфизм. Мономорфизм. Биморфизм.

ГОМОМОРФИЗМ::::

__ГОМОМОРФИЗМ – отображение множества элементов одной алгебраической системы в другую, сохраняющее все отношения и операции

Даны A=<M1; φ>, B=<M2;ψ> и соответствие G отображает M1® M2.

Соответствие G - гомоморфизм алгебры А в алгебру В если

G (а φ b) = G(а) ψ G(b)

1) Над элементами а и b Î M1 выполняем операцию φ: a φ b = c

2) Результат операции с отображаем в множество M2: Г: с ®γ

3) Выполняет отображение элемента a в множество M2: Г: a ®α

4) Выполняет отображение элемента b в множество M2: Г: b ®β

5) Над элементами α и β Î M2 выполняем операциюψ: α ψ β = γ1

6) Если γ= γ1 то соответсвие гомоморфно, нет в противном случае.

__Мономорфизм – это гомоморфное и инъективное соответствие

__Эпиморфизм – это гомоморфное и сюръективное соответствие

__Эндоморфизм – это гомоморфное соответствие и множество В=А

__Биморфизм – это гомоморфное, биъективное соответствие

__Автоморфизм - это гомоморфное, взаимооднозначное соответствие и множество В=А

__Изоморфизм - это гомоморфное и взаимооднозначное соответствие

ОТОБРАЖЕНИЯ:::::::::::::

Отображение – полностью определенное функциональное

__(((((Отображением A в B (F:A→B) называется полностью определенное и функциональное соответствие

___Отображением A на B (F:A→B) называется полностью определенное, сюръективное и функциональное соответствие

__))))))))))))))))))))))))))

Пусть даны два множества S и S^/ , причем в первом S определены отношения F_k (x₁, x₂, ...), k = 1, 2, ..., n, а во втором S^/ –отношения F^/_k (x^/₁, x^/₂, ...), k = 1, 2, ..., n. Множества S и S^/ с указанными отношениями называются изоморфными, если между ними существует такое взаимно однозначное соответствие x^/=Г1(x), x = Г2(x^/), где x ÎS, а x^/ Î S^/, что из наличия F_k (x₁, x₂, ...) вытекает наличие F^/_k (x^/₁, x^/₂, ...), и наоборот.

Отображение Г1 - изоморфное отображение или изоморфизмом системы S на систему S^/, а обратное ему отображение

Г2 – изоморфизмом системы S^/, на систему S.

Факт изоморфности систем S и S^/ обозначается S@S ^/.

24. Граф. Вершина, ребро, дуга. Кратные ребра (дуги). Петли. Смежные вершины, смежные дуги. Степень вершины. Инцидентные ребро(дуга) и вершина. Виды графов: плоские, неориентированные, ориентированные, смешанные, взвешенные, псевдограф, мультиграф, полный, пустой, двудольный, регулярный, деревья. Изоморфизм графов.

__Граф (от греческого grajw — пишу) — множество V вершин и набор E неупорядоченных и упорядоченных пар вершин; обычно граф обозначают как G(V, E)

__Неупорядоченная пара вершин называется ребром, упорядоченная пара вершин— дуга.

Каждый граф можно представить в евклидовом пространстве множеством точек, соответствующих вершинам, которые соединены линиями, соответствующими ребрам (или дугам — в последнем случае направление обычно указывается стрелочками). — такое представление называется укладкой графа.

Вершина — точка, в кот. сходятся ребра (дуги) графа.

Петля – ребро(дуга) соединяющее

одну вершину

Кратные ребра (дуги) – соединяют одну и ту жепару вершин (с учетом

направлений для дуг)

___Вершины, соединенные ребром или дугой называются смежными.

__Ребра, имеющие общую вершину называются смежными.

__Ребро (или дуга) и любая из его вершин называются инцидентными.

__Принято говорить, что ребро (u, v) соединяет вершины u и v, а дуга (u, v) начинается в вершине u и кончается в вершине v.

__Степень вершины – кол-во инцидентных с ней дуг.

ПЛОСКИЕ ГРАФЫ:::::::

__Доказано, что в 3-мерном пространстве любой граф можно представить в виде укладки таким образом, что линии, соответствующие ребрам (дугам) не будут пересекаться во внутренних точках. Для 2-мерного пространства это, вообще говоря, неверно.

• __Плоские графы допускают представление в виде укладки в 2-мерном пространстве, с непересекающимися ребрами (дугами).

РИСУНОК(Л-4(29))

• Неориентированный граф содержит только ребра.

РИС(Л-4(30))

• Ориентированный граф содержит только дуги.

РИС(Л-4(30))

• Смешанный граф содержит ребра и дуги

РИС(Л-4(30))

• Взвешенный граф – это граф, в котором ребра (дуги) характеризуются весами

РИС(Л-4(30))

• Псевдограф содержит петли

РИС(Л-4(31))

• Мультиграф содержит кратные ребра

а - полный граф: любые две вершины соединены ребром (дугой)

б — пустой граф: не содержит ребер (дуг)

• Двудольный граф – множество вершин можно разбить на два

• подмножества, таких, что ребра соединяют вершины только из разных подмножеств.(л4(32))

• __Регулярный граф – это граф у которого степени всех вершин равны.

• дерево: граф не содержащий циклов

ИЗОМОРФИЗМ ГРАФОВ::::

__Два графа G(V, E) и H(W, I) называются изоморфными, если существует взаимно-однозначное соответствие между множествами вершин V, W и множествами ребер E, I, сохраняющее отношение инцидентности.