- •2. Простое и необычное множество. Парадоксы и Антиномии. Парадокс Рассела и его роль в математике. Способы избежать Парадокса Рассела. Логические антиномии.
- •3. Операции над множествами и законы алгебры множеств. Диаграммы Эйлера. Формула включений и исключений. Покрытия и разбиения. Классы разбиения.
- •6. Операции над соответствиями. Объединение, пересечение, дополнение, инволюция (обратное) соответствия, композиция соответствий.
- •7. Прямое и обратное соответствие Галуа и его роль в проективном распознавании образов. Свойства соответствий Галуа. Замкнутое подмножество.
- •8. Бинарное отношение. Способы задания. Рефлексивное, симметричное, антисимметричное, асимметричное, транзитивное отношения.
- •10. Диаграмма Хассе как способ задания отношения частичного порядка на множестве. Непосредственно предшествующие элементы. Линейно упорядоченные подмножества.
- •11. Замыкание отношений. Рефлексивное, симметричное, транзитивное замыкание отношений.
- •12. Понятие нечеткого множества. Функция принадлежности и ее интерпретация. Способы формализации нечетких множеств. Наиболее распространенные параметрические функции принадлежности.
- •15. Бинарная операция и ее основное множество. Способы задания бинарной операции. Таблица Кэли. Операционный квадрат таблицы Кэли.
- •16. Свойства бинарных операций: ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность, существование нейтрального и обратного элементов, разрешимость уравнений.
- •18. Группоид. Квазигруппа. Латинский квадрат. Лупа. Полугруппа. Моноид. Группа. Абелева группа.
- •19. Подстановки. Композиция подстановок, нейтральная, обратная подстановка. Группа подстановок и ее таблица Кэли. Подгруппы группы подстановок.
- •20. Группа симметрий фигуры.
- •21. Иерархия систем с двумя бинарными операциями: Кольцо. Виды колец. Тело. Поле.
- •4) Аддитивная и мультипликативная операции коммутативны
- •23. Отображения. Изоморфизм. Автоморфизм. Гомоморфизм. Эпиморфизм. Эндоморфизм. Мономорфизм. Биморфизм.
- •25. Способы задания графов: матрица смежности, матрица инциденций и список смежности.
- •28. Алгоритм определения компонент связности в неориентированном графе.
- •29. Эйлеров путь в графе. Эйлеров цикл. Теорема о существовании эйлерова цикла. Алгоритм нахождения эйлерова цикла и его вычислительная сложность.
- •33. Необхдимое и Достаточное условия для определения дерева. Задача построения минимального остовного дерева. Алгоритм Краскала. Алгоритм Прима. Оценка вычислительной сложности.
- •35. Алгоритм нахождения кратчайшего расстояния от источника до всех верши в общем случае – алгоритм Форда-Беллмана. Сложность алгоритма
- •36. Алгоритм Дейкстры — алгоритм нахождения кратчайшего расстояния от источника до всех верши в случае неотрицательных весов. Сложность алгоритма.
- •37. Лемма о перенумерации вершин. Алгоритм перенумерации вершин графа.
- •38. Алгоритм нахождения кратчайшего расстояния от источника до всех верши в случае бесконтурных графов. Сложность алгоритма.
- •39. Система pert. Алгоритм топологической сортировки. Критический путь и способ его нахождения.
- •41. Потоки в сетях. Классификация вершин по воздействию на поток. Величина потока. Разрез и поток через разрез. Теорема о максимальном потоке. Метод увеличивающих цепей.
- •42. Знаковые орграфы и задачи социологии. Теорема Харари о балансе. Недостатки математической модели о балансе.
- •45. Эквивалентность и включение сетей Петри. Построение дерева достижимости сети Петри.
- •46. Виды сетей Петри: временная, стохастическая, функциональная, цветная, ингибиторная. Использование сети Петри для проверки абстрактного сценария. Сеть Петри для задачи об обедающих философах.
- •48. Основные схемы логически правильных рассуждений.
- •51. Формы записи формул (функций) — инфиксная, префиксная, постфиксная. Преобразования формул: инфиксная в префиксную и постфиксную, префиксная в инфиксную, постфиксная в инфиксную.
- •52. Элементарная конъюнкция, элементарная дизъюнкция. Днф, сднф, кнф, скнф. Построение сднф и скнф по таблице истинности. Преобразования днф в сднф. Преобразование кнф в скнф.
- •53. Полиномы Жигалкина. Построение полиномов Жигалкина.
- •54. Классы логических функций: сохраняющие 0, сохраняющие 1, монотонные, линейные, двойственные, самодвойственные. Критерий поста.
- •55. Упрощение сднф при помощи Карты Карно. Булева алгебра и коммутационные схемы. Анализ и синтез коммутационных схем. Проектирование полубитного сумматора.
- •56. Функции k-значной логики и их задание с помощью таблицы истинности и таблицы Кэли. Примеры k-значных логик: алгебра Вебба, алгебра Поста, алгебра Россера-Тьюкетта.
- •59. Квантор всеобщности и квантор существования. Область действия квантора. Связанное и свободное вхождение переменной в формулу.
- •61. Эквивалентные соотношения логики предикатов. Префиксная нормальная форма. Процедура получения пнф.
- •62. Конечный автомат. Способы задания: таблицей, диаграммой.
- •64. Виды автоматов: Мили, сильносвязанный, автономный, Мура. Изоморфизм и эквивалентность автоматов. Изоморфизм графов и автоматов. Неотличимые автоматы. Минимальный автомат.
- •65. Подстановочные, перестановочные криптограммы, Шифр Тритемиуса.
- •66. Равномерные коды, неравномерные однозначно декодируемы (префиксные) коды: код и дерево Фано, кодирование и дерево по Хафменну.
- •67. Условие однозначной декодируемости для неравномерных кодов.
- •69. Кодирование и декодирование по Хеммингу.
65. Подстановочные, перестановочные криптограммы, Шифр Тритемиуса.
ПОДСТАНОВОЧНЫЕ::::
__Каждой букве алфавита сопоставляют определенный символ (иногда тоже букву) и при кодировании всякую букву текста заменяют на соответствующий ей символ
___Прием декодирования — с учетом вероятностей появления букв и буквосочетаний (частотный анализ)
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ::::
__Весь текст разбивается на группы, состоящие из одинакового числа букв
__Внутри каждой группы буквы некоторым образом переставляются.
___Если группа достаточно длинная (иногда это весь текст целиком), то число возможных перестановок очень велико, отсюда большое многообразие перестановочных криптограмм
ШИФР ТРИТЕМИУСА:::::
__Буквы алфавита нумеруются по порядку числами 0, 1, ... , 30. При шифровании ключевое слово (или номера его букв) подписывается под сообщением с повторениями
____например:
всвязиссоздавшимсяположениемотодвигаемсрокивозвращениядомойрамзай
записьзаписьзаписьзаписьзаписьзаписьзаписьзаписьзаписьзаписьзаписьзапи
____Каждая буква сообщения «сдвигается» вдоль алфавита по следующему правилу: буква с номером m, под которой стоит буква ключевого слова с номером k, заменяется на букву с номером l = m+k (если m+ k <31) или букву с номером l=m+k (mod 31). (если m+k >31).
66. Равномерные коды, неравномерные однозначно декодируемы (префиксные) коды: код и дерево Фано, кодирование и дерево по Хафменну.
__Равномерные коды содержат кодовые комбинации одинаковой длины для каждого символа в сообщении.
__Число знаков n для кодовой комбинации каждого символа сообщения для равномерного кода, имеющего основание m определяется следующим образом:
Если нам необходимо закодировать k символов, то
1) находим h ≥ k, которое является ближайшей степенью m
2) определяем n=logmh
НЕРАВНОМЕРНЫЕ ОДН.ДЕКОД(ПРЕФ):::
___Однозначно декодируемые коды – это такие коды, у которых всякая последовательность кодовых символов может быть единственным образом разбита на кодовые слова.
__Префиксные коды относятся к однозначно декодируемым и обладают тем свойством, что никакое кодовое слово не является началом (префиксом) другого кодового слова, что позволяет однозначно декодировать код.
ПРЕФИКСНЫЙ КОД(МЕТОД ФАНО)::::
__Располагаем N сообщений в порядке
убывания их вероятностей: Р(А1)³Р(А2)…P(AN).
__Разбиваем множество символов на две группы так,,чтобы суммарные вероятности символов каждой из групп были как можно более близки друг к другу. Символам из одной группы в качестве первого знака кодового слова приписывается символ 0, сообщениям из другой — 1.
___По тому же принципу каждая из полученных групп снова разбивается на две части, и это разбиение определяет значение второго знака кодового слова.
__Процедура продолжается до тех пор, пока все множество не будет разбито на отдельные элементы. В результате каждому из символов будет сопоставлено кодовое слово из нулей и единиц.
___Понятно, что чем более вероятен символ, тем быстрее оно образует «самостоятельную» группу и тем более коротким словом оно будет закодировано.
ДЕРЕВО ФАНО:::РИСУНОК) ___Нулевой уровень дерева – это корень
___Первый уровень располагаются первые две группы разбиения («А1») и («А2», «А3», «А4»). Эти группы соединяются с корнем ребра и им присваивается первые кодовые символы. Слева располагается группа, которой присваивается 0, справа группа, которой присваивается 1.
____На i+1-ом уровне располагаются группы, получаемые разбиением групп i-го уровня с соответствующими присваиваемыми символами.
___Концевые вершины дерева имеют по одному кодируемому символу.
___Кодовая комбинация для каждого кодируемого символа состоит из всех символов в ветке.
КОДИРОВ. ПО ХАФФМЕНУ::::: 1) В исходном множестве элементов
сообщений А0 ={A1, А2, …, AN-2, АN-1, AN}, отсортированных по убыванию вероятности, объединить два наименее вероятных сообщения АN-1, AN в одно сообщение А с вероятностью появления P(A) = P(АN-1)+P(AN).
2) Образовать новое множество А1 ={A1, А2, …, AN-2, А }. Говорят, что А1
получают сжатием А0.
3) Множество А1 отсортировать в порядке убывания вероятностей.
4) Используя процедуру описанную в 1-3
пунктах получить новое множество А2
путем сжатия множества А1.
5) Шаги 1-4 повторять, пока в множестве
АN-2 не останется два элемента
ДЕРЕВО ХАФФЕНА::::
___Дерево кодирования на первом уровне имеет два элемента множества АN-2, которые соединяются ребрами с корнем дерева. Элементу с меньшей вероятностью приписывается символ 1, а элементу с большей вероятностью -0.
___i+1-ый уровень дерева состоит из элементов множества АN-i-2, которые соединяются ребра с элементами i-го уровня из которых они получены расщеплением. Элементу с меньшей вероятностью приписывается символ 1, а элементу с большей вероятностью символ 0.
___Концевые вершины дерева являются элементы сообщения. Каждому элементу приписывается кодовая комбинация, состоящая из всех символов в дереве