10. Диаграмма Хассе как способ задания отношения частичного порядка на множестве. Непосредственно предшествующие элементы. Линейно упорядоченные подмножества.

Пусть .

Если , то x непосредственно предшествует у.

Обознач.: .

Диаграмма Хассе задает схему непосредственных предшественников.

Если вершина явл. непосредственным предшественником , то помещают на ниж. уровне, а на верхнем. Вершины соединяют не направ. дугами.

В рассмотренном примере .

«быть делителем»: «включение слов друг в друга»:

«быть меньше»: «быть подмножеством»:

11. Замыкание отношений. Рефлексивное, симметричное, транзитивное замыкание отношений.

— замыкание отношения относ. св-ва , если:

• обладает св-вом ;

• ;

• явл. подмнож. ∀ др. отношения, содержащего и обладающего св-вом .

R — некоторое бинарное отношение на множ. A:

• Рефлексивное замыкание отношения — отношение .

• Симметричным замыканием отношения называется отношение .

• Транзитивным замыканием отношения называется отношение

Отношение, включающее свои симметрич., рефлексив. и транзитив. замыкания, явл. отношением эквивалентности (обратное утв. также верное).

12. Понятие нечеткого множества. Функция принадлежности и ее интерпретация. Способы формализации нечетких множеств. Наиболее распространенные параметрические функции принадлежности.

__Более строго, нечетким множеством называется совокупность пар {(x| m_A(x))}, " x Î U

Пусть, например,

элемент a не принадлежит множеству , элемент b принадлежит ему в малой степени, элемент c более или менее принадлежит, элемент d принадлежит в значительной степени, e является элементом множества

ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ::::

__Пример: множество молодых людей B = {х: х-молодой человек}

__До 20 лет человек молод. Возникает вопрос: почему кто-то в свой двадцатилетний юбилей - молодой, а сразу на следующий день уже не молодой? Очевидно, что если передвигать верхнюю границу на 1 день, то можно задаться точно таким же вопросом и т.д. до бесконечности.

__Более естественный путь получения множества B состоит в ослаблении строгого разделения на молодых и не молодых.

Наиболее распространенные параметрические функции принадлежности:::::::::::::::::

• треугольные

m(x) = 0, при x <=a;

m(x) = (x – a)/(b – a), при a < x <=b;

m(x) = (c – x)/(c – b), при b < x <=c;

m(x) = 0, при с < x.

• трапециевидные

m(x) = 0, при x <a;

m(x) = (x – a)/(b – a), при a < x <=b;

m(x)= 1, при b < x <=c;

m(x) = (d – x)/(d – c), при c < x <=d;

m(x) = 0, при d < x.

__Гауссовские функции принадлежности задаются двумя параметрами

(c,s): m(x) = exp(-0.5(x - c)²/s²).

__Колоколообразные функции принадлежности

задаются параметрами (a,b,c):

m(x) = 1/(1+((x - c)/a)^2b)

13. Пустое, нормальное и субнормальное нечеткое множество. Точки перехода нечеткого множества. Отношения между нечеткими множествами: включения и равенства. Множество a –уровня, сильное и слабое сечение.

__Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается Æ

__Нечеткое множество А называется пустым, если m_A(x)=0, "x Î U

__Носителем нечеткого множества А называется подмножество таких точек U, для которых величина m_A(x) положительна. Носитель обозначается S(A) или Supp A: S(A) = {x|xΠU, m_A(x) > 0}

__Высотой h(A) нечеткого множества А называется величина h(A) = max m_A(x)  по всем x Î U

__Нечеткое множество А называется нормальным, если его высота равна единице. В противном случае нечеткое множество А субнормально. Нечёткое множество унимодально, если m_A(x) =1 только на одном x из U .

__Элементы множества U, для которых степень принадлежности m_A(x) = 0.5 называются точками перехода нечеткого множества

ОТНОШЕНИЯ МЕЖД МН_МИ::::

__Пусть A и B — нечеткие подмножества. Будем говорить, что A содержится в B, и обозначать A Í B, если " xΠU, m_A(x) £ m_B(x)

__A и B равны (A = B), если " xΠU, m_A(x) = m_B(x)

___Множеством a -уровня нечеткого множества А - это множество А_a всех таких элементов универсального множества U, степень принадлежности которых больше или равна a: A_a={x |" xΠU, m_A(x) ³a }

Множество a -уровня называют иногда сечением a нечеткого множества А. Причем, если m_A(x) ³ a , то говорят о сильном сечении, если m_A(x)  > a, то о слабом сечении

14. Основные операции над нечеткими множествами: объединение, пересечение, дополнение, разность, дизъюнктивная сумма, степень множества, концентрирование и растяжение, прямое произведение нечетких множеств. Законы алгебры нечетких множеств при максимином и алгебраическом определении функции принадлежности. Законы алгебры нечетких множеств при ограниченной функции принадлежности.

__Пусть А и В — нечеткие множества на универсальном множестве U.

Объединением нечетких множеств А и В в U называют наименьшее нечеткое подмножество AÈB, включающее как А, так и В.

___Функция принадлежности для элементов может быть:

Максимальной mAÈB(x) = max(mA(x), mB(x)), " xΠU (пример)

Алгебраической mAÈB(x) = mA(x) + mB(x) - mA(x) mВ(x), " xΠU

Ограниченной mAÈB(x) = min(1,mA(x) + mB(x)), " xΠU

(Рис(Л-3(14))

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ:::::: Пересечением нечетких множеств А и В в U называют наибольшее нечеткое подмножество АÇВ, содержащееся одновременно в А и В.

Функция принадлежности для элементов может быть:

Минимальной mAÇ B(x) = min(mA(x), mB(x)), " xΠU (пример)

Алгебраической mA Ç B(x) = mA(x) mВ(x), " xΠU

Ограниченной mA Ç B(x) = max(0, mA(x) + mB(x) - 1), " xΠU

___Дополнением нечеткого множества А называют нечеткое множество -A с функцией принадлежности: m_-A (x) = 1 — m_A(x), " xΠU

__Разность нечетких множеств А и В определяется по-разному, введением двух независимых операций

или m_A - B (x) = min(m_A(x), 1 — m_B(x)), " xΠU

__Дизъюнктивная сумма АÅВ нечетких множеств А и В определяется " xΠU как

mA  Å  B (x) = max[ min(mA(x), 1 — mB(x) ), min(mB(x), 1 — mA(x))]

__Степенью нечеткого множества A называется нечеткое множество Aα с функцией принадлежности

µ(Aα (x)) = µαA (x), " xΠU, α>0.

__При α = 2 получаем операцию концентрирование (уплотнение) CON(A) = A2. В результате применения этой операции к множеству А снижается степень нечеткости описания, причем для элементов с высокой степенью принадлежности это уменьшение относительно мало, а для элементов с малой степенью принадлежности относительно велико.

__При α = 0.5 получаем операцию растяжения DIL(A) = A0.5

Эта операция увеличивает степень нечеткости исходного нечеткого множества.

__Операция контрастной интенсификации (INT) определяется с помощью функции принадлежности следующим образом:

_Прямое произведение нечетких множеств: Пусть А₁, А₂, … А_n нечеткие подмножества универсальных множеств U1, U2, … Un соответственно

Прямое произведение А=А1 × А2 ×…× Аn является нечетким подмножеством декартового произведения U = U1 ×U2 ×…×Un c функцией принадлежности вида:

mA(x) = min(mA1(x1), …, mAn(xn)), x = (x1, …, xn) Î U

Нарушение законов (алгебры нечетких множеств?) при максимином и алгебраическом определении функции принадлежности.

A ∩ -A ≠ Ø A È -A ≠ U

Нарушение законов (алгебры нечетких множеств?) при ограниченной функции принадлежности.

• Идемпотентности: A Ç A≠A, A È A≠A.

• Дистрибутивности: (A Ç B) È C ≠ (A Ç C) È (B Ç C)

(A È B) Ç C ≠ (A È C) Ç (B È C)