59. Квантор всеобщности и квантор существования. Область действия квантора. Связанное и свободное вхождение переменной в формулу.

Пусть P(x) — предикат, определенный на M

__Высказывание «для всех x из M предикат P(x) истинен» обозначается "xP(x). Знак "x называется квантором общности;

__Высказывание «существует такой x из M, что предикат P(x) истинен» обозначается $xP(x). Знак $x называется квантором существования.

__Переход от P(x) к "x P(x) или $x P(x) называется связыванием переменной x, а также навешиванием квантора на переменную x (или на предикат P), иногда — квантификацией переменной x.

__Переменная, на которую навешен квантор, называется связанной; несвязанная переменная называется свободной.

ОБЛАСТЬ ДЕЙСТВИЯ КВАНТОРА:::

__Выражения "xP(x), $xP(x) не зависят от х и при фиксированных Р и М имеют вполне определенные значения, представляя вполне конкретное высказывание относительно всех х предметной области М.

__Выражение, на которое навешивается квантор "x или $x называется областью действия квантора;

__Все вхождения переменной x в это выражение являются связанными.

__Навешивание предиката на многоместный предикат уменьшает в нем число свободных переменных и превращает его в предикат от меньшего числа переменных.

60. Предикаты. Выполнимая, тождественно истинная и тождественно ложная формула на множестве М. Общезначимая и противоречивая формулы. Методы определения истинностных значений предиката: подстановкой, прямым доказательством, методом от противного.

__Предикат – повествовательное предложение, содержащее предметные переменные xi ÎMi, определенные на соответствующих множествах Mi

__Если в множестве М для формулы F существует такая подстановка констант вместо всех переменных, что F становится истинным высказыванием, то формула F называется выполнимой в области М. Если существует область М, где F выполнима, то F называется просто выполнимой.

__Если формула F выполнима в М при любых подстановках констант, то она называется тождественно истинной в М. Формула, тождественно истинная в любых М называется тождественно истинной или общезначимой.

__Если формула F невыполнима в М, она называется тождественно ложной в М. Если F невыполнима ни в каких М, она называется тождественно ложной, или противоречивой.

ОБЩЕЗНАЧИМАЯ И ПРОТИВОРЕЧИВАЯ Ф_ЛЫ ????????

МЕТОДЫ ОПРЕД,, ПОДСТАНОВКОЙ:::

__Оценить истинностное значение предиката " (x) S(x,y,x), где S(x,y,x) – предикат суммы на множествах N0, N.

__На множестве N0 существует единственная подстановка константы вместо переменной y, такая что для любого х выражение x+y=x истинно. Очевидно, что y=0. Т.е. данный предикат выполним на множестве N0.

___Очевидно, что на множестве N такой подстановки не существует, т.е. данный предикат тождественно ложный на множестве N.

__Так как существует множество на котором он выполним, то рассматриваемый предикат просто выполним.

ПРЯМОЕ ДОК_ВО::::

__Пример1: Оценить истинностное значение предиката $(x)(P(x)&ùP(x)), где P(x) – любой предикат.

При подстановке любого значения а из любого множества М вместо переменной х возможны две ситуации Р(а)=1 и Р(а)=0. Рассмотрим каждую из них.

Если Р(а)=1, тогда ùP(а)=0 и формула P(а)&ùP(а)=1&0=0.

Если Р(а)=0, тогда ùP(а)=1 и формула P(а)&ùP(а)=0&1=0.

Таким образом, рассматриваемый предикат является тождественно ложным.

__Пример 2: Оценить истинностное значение предиката

ù "хP(х) → $(x) ù P(х), где P(x) – любой предикат

Следующие рассуждения верны для любого множества М. Если не верно, что для любого значения а из множества М высказывание Р(а) истинно, то это означает, что существует х=а для которого Р(а) – «ложно» (т.е. ùP(а)=1). Таким образом левая и правая часть всегда имеют одинаковые значения либо 0 → 0 = 1, либо 1 → 1 = 1. Как видно, в любом случае это высказывание истинно и при этом не зависит от выбора множества М. Таким образом, рассматриваемый предикат является тождественно истинным.

МЕТОД ОТ ПРОТИВНОГО::::

__Пример: Оценить истинностное значение предиката "x((P(x)&Q(x))→P(x)), где P(x), Q(x) – любые предикаты.

Предположим противное. Пусть формула ложна, т.е. не для всех х формула (P(x)&Q(x))→P(x) истина. Тогда существует значение а, подстановка которой в формулу делает ее ложной (P(а)&Q(а))→P(а) =0. Такая ситуация возможна если

P(а)&Q(а) = 1 (1)

P(а) = 0 (2)

Из (1) следует, что P(а)=1, что противоречит (2)

Принятое предположение относительно ложности формулы

привело к противоречию, поэтому оно не верно и, следовательно,

формула "x((P(x)&Q(x))→P(x)) тождественно истинна