41. Потоки в сетях. Классификация вершин по воздействию на поток. Величина потока. Разрез и поток через разрез. Теорема о максимальном потоке. Метод увеличивающих цепей.

Пусть G = (V, E) — связный граф и F  E — подмножество множества его ребер. При этом F называется разделяющим множеством если подграф G = (V, E – F) несвязен. Разделяющие множества всегда сущ. (если в графе вершины), т. к. всегда можно положить F = E. Разделяющее множ. Может разбить граф на 2 и больше компонент.

Если задан связный граф G = (V, E) и множество его вершин разбито на 2 непустых подмнож. W и множество ребер, соединяющих W с W, называется разрезом. Для любого множества W это множество ребер будет непусто в силу связности графа G, поэтому разрез определен.

Сеть — пара S = G, с, где G = V, E — произвольный орграф, а с: E  R — функция, которая каждой дуге u, v ставит в соответствие неотриц. вещественное число с(и, v), называемое пропускной способностью этой дуги. Множества V и Е называются соответственно множеством вершин и множеством дуг сети S.

Под разрезом Р(А) сети S, соотв. подмнож. А  V (А  , А  V), мы понимаем множество дуг u, v  Е, таких что u  А и v  V\A, т. е. P(A) = E  (A  (V\A)).

Для произвольного потока f в сети S поток через разрез Р(А): .

Определим пропускную способность разреза Р(А) следующим образом: .

Под минимальным разрезом, разделяющим s и t, мы будем понимать произвольный разрез Р(А), s  А, t  V\A с минимальной пропускной способностью.

Теорема (Форд и Фалкерсон). Величина каждого потока из s в t не превосходит пропускной способности мин. разреза, разделяющего s и t, причем существует поток, достигающий этого значения.

Все известные алгоритмы построения максимального потока основываются на последоват. увеличении потока, причем модификация потока, увелич. его величину, чаще всего опирается на метод увеличивающих цепей.

Будем говорить, что дуга е сети S является допустимой дугой из u в v относительно потока f, если

и (1) или

и (2).

В зависимости от того, какое из приведенных условий вып., будем говорить соответственно о согласованной или несогласованной допустимой дуге из и в v. Увеличивающей цепью (длины l) для данного потока f из s в t называется произвольная знакоперем. последовательность (попарно различных) вершин и дуг такая, что v₀ = s, v_l = t, и для каждого i  l дуга допустима из v_i–1 в v_i относительно потока f.

42. Знаковые орграфы и задачи социологии. Теорема Харари о балансе. Недостатки математической модели о балансе.

Знаковый граф — граф, каждому ребру кот. приписан какой-либо знак.

Знак маршрута определяется как знак произведения входящих в них дуг или ребер (если знак плюс зам. на +1, а знак минус на –1).

Маршрут имеет знак минус, если число дуг / ребер в нем нечетно, иначе — плюс.

Хейдер изучал задачи из обл. социологии малых групп людей.

#: группа из 3 человек. Знак означает явно выраженную симпатию или антипатию.

Малая группа является сбалансированной тогда и только тогда, когда представляющий ее знаковый граф сбалансирован.

Теорема Харари о балансе.

Для знакового графа G=(V,E) следующие утверждения эквивалентны:

• Граф G сбалансирован.

• Каждая замкнутая цепь в G положительна.

• ∀ 2 цепи между ∀ 2 вершинами имеют одинаковый знак.

• Критерий баланса. Множество вершин можно разбить на два подмножества так, что каждое положительное ребро соединяет вершины одного подмножества и каждое отрицательное соединяет вершины различ. подмножеств.

Недостатки математической модели о балансе:

• Предположение о «симметрии симпатий» (в 2 стороны, если граф ненаправленный).

• Игнорируется «сила» симпатий.

• Не разделяются типы несбалансированности.

• Нет градаций степени сбалансированности.

43. Процедура математического моделирования. Модель когнитивных карт. Принцип построения когнитивной карты. Контуры положительной и отрицательной обратной связи. Устойчивость / изменчивость моделей на знаковых орграфах.

Процедура математического моделирования:

Когнитивная карта — причинно-следственная сеть связей в наборе факторов (концептов), в виде которых предства. информация о системе.

Построение когнитивной карты моделируемой системы означает снятие неопределенности с ее структуры путем формирования модели знаний об этой системе.

В основе когнитивной карты лежат знаковые орграфы.

Принцип построения когнитивной карты.

При составлении когнитивной матрицы эксперту потребуется все время отвечать на вопросы:

1) Какой концепт явл. причиной, а какой следствием?

2) Какое действие на один концепт окажет усиление другого концепта (усиление / ослабление)?

3) В какой степени ослабится или усилится концепт? "Усиление–ослабление " носит абстрактный характер, и эксперту необходимо проставить веса у дуг (проинтерпретир. релевантную причинно–следств. связь).

Т. о. эксперт определяет наиб. важные, непосредств. связи между концептами (связи, кот. существуют в представлении экспертов в «явном» виде).

Контуры положит. и отриц. обратной связи.:

Контуры в знаковом орграфе соответствуют контурам обратной связи; контуры, усил. отклонение — контурам положит. обратной связи, а контуры, противодейств. отклонению — контурам отриц. обратной связи.

Контур, усил. отклонение — контур, в кот. увеличение (уменьшение) любой переменной приводит к ее последующему увеличению (уменьшению).

Контур, противодейств. отклонению — контур, в кот. увеличение любой переменной приводит (через другие переменные контура) к ее уменьшению и наоборот.

Неустойчивость системы — когда в ней много контуров, усил. отклонение.

Устойчивость системы проверяется математически:

1) Строится весовая матрица смеж. A (веса = +1 или -1).

2) Находятся все собственные значения λ матрицы A: , где I — единич. матрица.

3) Если все собств. знач. , то система устойчива.

44. Сети Петри. Аналитическое задание. Функционирование сети Петри. Конечные разметки сети. Основные свойства сети Петри: К-ограниченность, безопасность, сохраняемость, достижимость, покрываемость, живость.

Сеть Петри определяется как двудольный граф. Т.е. все вершины графа относятся к одному из двух классов — позициям (местам) и переходам.

Позиции изображаются окружностями, переходы — направленными дугами. Каждая дуга связывает вершины только разных классов.

Аналитическое задание.:

Сеть Петри — набор , где P — множ. вершин, T — множ. переходов, I:T®P* — соответствие между множ. переходов и вершин, задающее входные позиции каждого перехода. О:T®P* — соответствие между множеством переходов и вершин, задающее выходные позиции каждого перехода, M₀ – начальная разметка сети.

Разметку сети до срабатывания любого перехода называют начальной разметкой. Затем срабатывает какой-либо переход и разметка сети меняется. После этого изменения какой-либо переход может перестать срабатывать или наоборот.

Последовательное срабатывание переходов и соответствующее изменение разметки сети называют процессом функционирования сети.

Разметку сети при завершении процесса срабатывания называют конечной разметкой.

Функционирование сети Петри описывается формально с помощью множ. последовательностей срабатываний и множ. достижимых в сети разметок.

Конечные разметки сети.:

Одна из основных проблем в теории сетей Петри — это задача о конечности функционирования сети (т.е. о достижении тупиковой разметки, «смертельные объятия»). Тупиковая разметка — разметка, при которой ни один переход не может сработать.

Основные свойства:

• K-oграниченность — число меток в любой позиции сети не может превысить некоторого значения K.

• Позиция р называется безопасной, если для любой разметки сети M количество фишек M(p) £ 1; сеть безопасна, если все ее позиции безопасны. Любая достижимая в безопасной сети разметка представляет собой вектор из 0 и 1.

• Сохраняемость — св-во сети, хар-зующее невозмож. возник. или уничтож. ресурсов в моделир. объекте.

• Разметка М достижима в сети Петри, если существует цепочка срабатываний переходов, ведущая из начального состояния в М.

• Разметка М'=(P₁'...P_n') покрывает состояние М”=(P₁"...P_n"), если для каждого i=1, ...,n имеет место P_i' ≥ P_i", т.е. имеет место М' ≥ М”.

• Живость — свойство сети, означающее, что из любого состояния, достижимого из начального, возможен переход в любое другое достижимое состояние.