- •2. Простое и необычное множество. Парадоксы и Антиномии. Парадокс Рассела и его роль в математике. Способы избежать Парадокса Рассела. Логические антиномии.
- •3. Операции над множествами и законы алгебры множеств. Диаграммы Эйлера. Формула включений и исключений. Покрытия и разбиения. Классы разбиения.
- •6. Операции над соответствиями. Объединение, пересечение, дополнение, инволюция (обратное) соответствия, композиция соответствий.
- •7. Прямое и обратное соответствие Галуа и его роль в проективном распознавании образов. Свойства соответствий Галуа. Замкнутое подмножество.
- •8. Бинарное отношение. Способы задания. Рефлексивное, симметричное, антисимметричное, асимметричное, транзитивное отношения.
- •10. Диаграмма Хассе как способ задания отношения частичного порядка на множестве. Непосредственно предшествующие элементы. Линейно упорядоченные подмножества.
- •11. Замыкание отношений. Рефлексивное, симметричное, транзитивное замыкание отношений.
- •12. Понятие нечеткого множества. Функция принадлежности и ее интерпретация. Способы формализации нечетких множеств. Наиболее распространенные параметрические функции принадлежности.
- •15. Бинарная операция и ее основное множество. Способы задания бинарной операции. Таблица Кэли. Операционный квадрат таблицы Кэли.
- •16. Свойства бинарных операций: ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность, существование нейтрального и обратного элементов, разрешимость уравнений.
- •18. Группоид. Квазигруппа. Латинский квадрат. Лупа. Полугруппа. Моноид. Группа. Абелева группа.
- •19. Подстановки. Композиция подстановок, нейтральная, обратная подстановка. Группа подстановок и ее таблица Кэли. Подгруппы группы подстановок.
- •20. Группа симметрий фигуры.
- •21. Иерархия систем с двумя бинарными операциями: Кольцо. Виды колец. Тело. Поле.
- •4) Аддитивная и мультипликативная операции коммутативны
- •23. Отображения. Изоморфизм. Автоморфизм. Гомоморфизм. Эпиморфизм. Эндоморфизм. Мономорфизм. Биморфизм.
- •25. Способы задания графов: матрица смежности, матрица инциденций и список смежности.
- •28. Алгоритм определения компонент связности в неориентированном графе.
- •29. Эйлеров путь в графе. Эйлеров цикл. Теорема о существовании эйлерова цикла. Алгоритм нахождения эйлерова цикла и его вычислительная сложность.
- •33. Необхдимое и Достаточное условия для определения дерева. Задача построения минимального остовного дерева. Алгоритм Краскала. Алгоритм Прима. Оценка вычислительной сложности.
- •35. Алгоритм нахождения кратчайшего расстояния от источника до всех верши в общем случае – алгоритм Форда-Беллмана. Сложность алгоритма
- •36. Алгоритм Дейкстры — алгоритм нахождения кратчайшего расстояния от источника до всех верши в случае неотрицательных весов. Сложность алгоритма.
- •37. Лемма о перенумерации вершин. Алгоритм перенумерации вершин графа.
- •38. Алгоритм нахождения кратчайшего расстояния от источника до всех верши в случае бесконтурных графов. Сложность алгоритма.
- •39. Система pert. Алгоритм топологической сортировки. Критический путь и способ его нахождения.
- •41. Потоки в сетях. Классификация вершин по воздействию на поток. Величина потока. Разрез и поток через разрез. Теорема о максимальном потоке. Метод увеличивающих цепей.
- •42. Знаковые орграфы и задачи социологии. Теорема Харари о балансе. Недостатки математической модели о балансе.
- •45. Эквивалентность и включение сетей Петри. Построение дерева достижимости сети Петри.
- •46. Виды сетей Петри: временная, стохастическая, функциональная, цветная, ингибиторная. Использование сети Петри для проверки абстрактного сценария. Сеть Петри для задачи об обедающих философах.
- •48. Основные схемы логически правильных рассуждений.
- •51. Формы записи формул (функций) — инфиксная, префиксная, постфиксная. Преобразования формул: инфиксная в префиксную и постфиксную, префиксная в инфиксную, постфиксная в инфиксную.
- •52. Элементарная конъюнкция, элементарная дизъюнкция. Днф, сднф, кнф, скнф. Построение сднф и скнф по таблице истинности. Преобразования днф в сднф. Преобразование кнф в скнф.
- •53. Полиномы Жигалкина. Построение полиномов Жигалкина.
- •54. Классы логических функций: сохраняющие 0, сохраняющие 1, монотонные, линейные, двойственные, самодвойственные. Критерий поста.
- •55. Упрощение сднф при помощи Карты Карно. Булева алгебра и коммутационные схемы. Анализ и синтез коммутационных схем. Проектирование полубитного сумматора.
- •56. Функции k-значной логики и их задание с помощью таблицы истинности и таблицы Кэли. Примеры k-значных логик: алгебра Вебба, алгебра Поста, алгебра Россера-Тьюкетта.
- •59. Квантор всеобщности и квантор существования. Область действия квантора. Связанное и свободное вхождение переменной в формулу.
- •61. Эквивалентные соотношения логики предикатов. Префиксная нормальная форма. Процедура получения пнф.
- •62. Конечный автомат. Способы задания: таблицей, диаграммой.
- •64. Виды автоматов: Мили, сильносвязанный, автономный, Мура. Изоморфизм и эквивалентность автоматов. Изоморфизм графов и автоматов. Неотличимые автоматы. Минимальный автомат.
- •65. Подстановочные, перестановочные криптограммы, Шифр Тритемиуса.
- •66. Равномерные коды, неравномерные однозначно декодируемы (префиксные) коды: код и дерево Фано, кодирование и дерево по Хафменну.
- •67. Условие однозначной декодируемости для неравномерных кодов.
- •69. Кодирование и декодирование по Хеммингу.
67. Условие однозначной декодируемости для неравномерных кодов.
_ _Пусть V={al, а2, ... , aN} префиксный двоичный код. Длины кодовых слов a1, а2, …, aN, равны l1, l2, ... , lN , при этом длина слова равна номеру этажа на котором находится концевая вершина
___Раннее установлено, что
Здесь ni число концевых вершин i-го этажа дерева
_ __ Учитывая взаимосвязь длины слова и номера этажа получаем неравенство Крафта
__Неравенством Крафта является условием однозначной декодируемости префиксных кодов
68. Кодирование и декодирование при передаче информации по каналам связи с «шумом». Типы кодов: с обнаружением и исправлением ошибки. Расстояние Хемминга и аксиомы расстояний. Вес слова. Теоремы об исправлении и обнаружении ошибок.
1) КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ?
2) Типы кодов
Коды с обнаружением ошибок, которые с большой вероятностью определяют наличие ошибки в принятом сообщении,
Коды с исправлением ошибок, которые с большой вероятностью могут восстановить посланное сообщение.
РАССТ ХЕММИНГА,АКСИОМЫ,ВЕС::
__На множестве двоичных слов длины m расстоянием d(a, b) между словами a и b называет расстоянием Хемминга и определяется числом несовпадающих позиций этих слов.
__Расстояние Хемминга удовлетворяет аксиомам расстояний:
1) d(a, b) ³ 0 и d(a, b) = 0 тогда и только тогда, когда a = b;
2) d(a, b) = d(b, a);
3) d(a, b) + d(b, c) ³ d(a, c) (неравенство треугольника).
__Весом w(a) слова a называют число единиц среди его координат.
__Тогда расстояние между словами a и b есть вес суммы a Å b: d(a, b) = w(a Å b), где Å — операция покоординатного сложения по модулю 2.
ТЕОРЕМЫ ОБ ИСПР И ОБНАР:::
_Теорема Для того, чтобы код позволял обнаруживать ошибки в k (или менее) позициях, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее расстояние между кодовыми словами было ³ k + 1.
_Теорема Для того, чтобы код позволял исправлять все ошибки в k (или менее) позициях, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее расстояние между кодовыми словами было ³ 2k + 1.
69. Кодирование и декодирование по Хеммингу.
КОДИРОВАНИЕ:
__Для определения значения элементов вектора В, являющимися степенями двойки b0, b1, b4, b8 … используется матрица M размера k´m, в которой каждый столбец заполняется номером столбца в двоичном виде, где k-число потребовавшихся дополнительных позиций, а m-общее число позиций в векторе B.
_Записываем систему уравнений B´MT = 0
_Операция сложения подразумевает сложение по модулю 2.
ДЕКОДИРОВАНИЕ:
__Вставляем значения bi, определенных из системы уравнений
В = b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10
b11
0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0
_Вектор ошибок E(e1…em) состоит из всех нулей, если при передаче не было допущено ошибки. Если ошибка была допущена в позиции bi, то ei=1
__Принятое слово D(d1… dm) = В(b1… bm) + E(e1…em) состоит из суммы (сложения по модулю 2) закодированного слова и вектора ошибок.
__В принятом слове D(d1… dm) нет ошибки если D´MT = 0
Доказательство: D´MT = (B+E) ´MT = B´MT +E´MT = 0+0=0 (B´MT =0 по построению, E´MT =0 так как предполается отсутствие ошибки)
__В принятом слове D(d1… dm) ошибка содержится в столбце i, номером которого это двоичная запись вектора X, являющегося решением системы уравнений Х=D´MT
Доказательство: Х=D´MT =(B+E)´MT =B´MT +E´MT =0+E´MT =E´MT. Вектор E может содержать только одну «1». Пусть «1» находится в позиции bi, тогда запись E´MT соответствует системе уравнений, где на «1» от вектора E умножается только bi элемент каждого столбца. В результате вектор Х(х1… хk) будет содержать значение bi строки матрицы MT. В свою очередь bi строка матрицы MT соответствует bi столбцу матрицы М. А матрица М заполнялась таким образом, что содержимое bi столбца соответствовало двоичной записи номера данного столбца.