- •2. Простое и необычное множество. Парадоксы и Антиномии. Парадокс Рассела и его роль в математике. Способы избежать Парадокса Рассела. Логические антиномии.
- •3. Операции над множествами и законы алгебры множеств. Диаграммы Эйлера. Формула включений и исключений. Покрытия и разбиения. Классы разбиения.
- •6. Операции над соответствиями. Объединение, пересечение, дополнение, инволюция (обратное) соответствия, композиция соответствий.
- •7. Прямое и обратное соответствие Галуа и его роль в проективном распознавании образов. Свойства соответствий Галуа. Замкнутое подмножество.
- •8. Бинарное отношение. Способы задания. Рефлексивное, симметричное, антисимметричное, асимметричное, транзитивное отношения.
- •10. Диаграмма Хассе как способ задания отношения частичного порядка на множестве. Непосредственно предшествующие элементы. Линейно упорядоченные подмножества.
- •11. Замыкание отношений. Рефлексивное, симметричное, транзитивное замыкание отношений.
- •12. Понятие нечеткого множества. Функция принадлежности и ее интерпретация. Способы формализации нечетких множеств. Наиболее распространенные параметрические функции принадлежности.
- •15. Бинарная операция и ее основное множество. Способы задания бинарной операции. Таблица Кэли. Операционный квадрат таблицы Кэли.
- •16. Свойства бинарных операций: ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность, существование нейтрального и обратного элементов, разрешимость уравнений.
- •18. Группоид. Квазигруппа. Латинский квадрат. Лупа. Полугруппа. Моноид. Группа. Абелева группа.
- •19. Подстановки. Композиция подстановок, нейтральная, обратная подстановка. Группа подстановок и ее таблица Кэли. Подгруппы группы подстановок.
- •20. Группа симметрий фигуры.
- •21. Иерархия систем с двумя бинарными операциями: Кольцо. Виды колец. Тело. Поле.
- •4) Аддитивная и мультипликативная операции коммутативны
- •23. Отображения. Изоморфизм. Автоморфизм. Гомоморфизм. Эпиморфизм. Эндоморфизм. Мономорфизм. Биморфизм.
- •25. Способы задания графов: матрица смежности, матрица инциденций и список смежности.
- •28. Алгоритм определения компонент связности в неориентированном графе.
- •29. Эйлеров путь в графе. Эйлеров цикл. Теорема о существовании эйлерова цикла. Алгоритм нахождения эйлерова цикла и его вычислительная сложность.
- •33. Необхдимое и Достаточное условия для определения дерева. Задача построения минимального остовного дерева. Алгоритм Краскала. Алгоритм Прима. Оценка вычислительной сложности.
- •35. Алгоритм нахождения кратчайшего расстояния от источника до всех верши в общем случае – алгоритм Форда-Беллмана. Сложность алгоритма
- •36. Алгоритм Дейкстры — алгоритм нахождения кратчайшего расстояния от источника до всех верши в случае неотрицательных весов. Сложность алгоритма.
- •37. Лемма о перенумерации вершин. Алгоритм перенумерации вершин графа.
- •38. Алгоритм нахождения кратчайшего расстояния от источника до всех верши в случае бесконтурных графов. Сложность алгоритма.
- •39. Система pert. Алгоритм топологической сортировки. Критический путь и способ его нахождения.
- •41. Потоки в сетях. Классификация вершин по воздействию на поток. Величина потока. Разрез и поток через разрез. Теорема о максимальном потоке. Метод увеличивающих цепей.
- •42. Знаковые орграфы и задачи социологии. Теорема Харари о балансе. Недостатки математической модели о балансе.
- •45. Эквивалентность и включение сетей Петри. Построение дерева достижимости сети Петри.
- •46. Виды сетей Петри: временная, стохастическая, функциональная, цветная, ингибиторная. Использование сети Петри для проверки абстрактного сценария. Сеть Петри для задачи об обедающих философах.
- •48. Основные схемы логически правильных рассуждений.
- •51. Формы записи формул (функций) — инфиксная, префиксная, постфиксная. Преобразования формул: инфиксная в префиксную и постфиксную, префиксная в инфиксную, постфиксная в инфиксную.
- •52. Элементарная конъюнкция, элементарная дизъюнкция. Днф, сднф, кнф, скнф. Построение сднф и скнф по таблице истинности. Преобразования днф в сднф. Преобразование кнф в скнф.
- •53. Полиномы Жигалкина. Построение полиномов Жигалкина.
- •54. Классы логических функций: сохраняющие 0, сохраняющие 1, монотонные, линейные, двойственные, самодвойственные. Критерий поста.
- •55. Упрощение сднф при помощи Карты Карно. Булева алгебра и коммутационные схемы. Анализ и синтез коммутационных схем. Проектирование полубитного сумматора.
- •56. Функции k-значной логики и их задание с помощью таблицы истинности и таблицы Кэли. Примеры k-значных логик: алгебра Вебба, алгебра Поста, алгебра Россера-Тьюкетта.
- •59. Квантор всеобщности и квантор существования. Область действия квантора. Связанное и свободное вхождение переменной в формулу.
- •61. Эквивалентные соотношения логики предикатов. Префиксная нормальная форма. Процедура получения пнф.
- •62. Конечный автомат. Способы задания: таблицей, диаграммой.
- •64. Виды автоматов: Мили, сильносвязанный, автономный, Мура. Изоморфизм и эквивалентность автоматов. Изоморфизм графов и автоматов. Неотличимые автоматы. Минимальный автомат.
- •65. Подстановочные, перестановочные криптограммы, Шифр Тритемиуса.
- •66. Равномерные коды, неравномерные однозначно декодируемы (префиксные) коды: код и дерево Фано, кодирование и дерево по Хафменну.
- •67. Условие однозначной декодируемости для неравномерных кодов.
- •69. Кодирование и декодирование по Хеммингу.
53. Полиномы Жигалкина. Построение полиномов Жигалкина.
__Каждую логическую функцию можно представить в виде полинома Жигалкина, представляющего собой элементарные конъюнкции соединены операцией исключающего или Å. Например: f(x,y,z) = (y & z) Å (x & z) Å (x & y & z)
___Процедура построения Полинома Жигалкина
1) По таблице истинности строим СДНФ.
2) СДНФ приводим к минимальной ДНФ
3) Выражаем дизъюнкции Ú и отрицания ù через операции конъюнкции & и исключающего или Å.
x Ú y = x Å y Å (x & y) ù x = x Å 1
4) Раскрываем скобки используя дистрибутивность x & (y Å z) = (x & y) Å (x & z), (x Å y) & z = (x & z) Å (y & z). В результате могут получится формула двух видов (xa & xb & ...) Å ... Å (xc & xd & ...) или (xa & xb & ...) Å ... Å (xc & xd & ...) Å 1
5) Сокращаются повторяющиеся элементы внутри скобок при помощи a&a=a, a&1=a, 1&a=a
6) Сокращаются одинаковые скобки при помощи поглощения aÅa=0, aÅ0=a, 0Åa=a.
ПОСТРОЕНИЕ::::::
Пусть для функции получена минимальная ДНФ:
f(x,y,z) = (ù x & y & z) Ú (x & ù z)
Используя ù a = a Å 1 заменим отрицание:
f(x,y,z) = ((x Å 1) & y & z) Ú (x & (z Å 1))
Используя a Ú b = a Å b Å (a & b) заменим дизъюнкцию:
f(x,y,z) = ((x Å 1) & y & z) Å (x & (z Å 1)) Å ((x Å 1) & y & z & x & (zÅ1))
Используя дистрибутивность раскроем скобки:
f(x,y,z) = (x & y & z) Å (1 & y & z) Å (x & z) Å (x & 1) Å Å (x & y & z & x & z) Å (1 & y & z & x & z) Å Å (x & y & z & x & 1) Å (1 & y & z & x & 1)
Применим законы поглощения внутри скобок:
f(x,y,z) = (x & y & z) Å (y & z) Å (x & z) Å x Å (y & x & z) Å
Å (y & x & z) Å (y & z & x) Å (y & z & x)
Применим законы поглощения для одинаковых скобок
f(x,y,z) = (x & y & z) Å (y & z) Å (x & z)Åx
54. Классы логических функций: сохраняющие 0, сохраняющие 1, монотонные, линейные, двойственные, самодвойственные. Критерий поста.
___Класс S0: Функции «сохраняющие 0» - это логические функции, значение которых равны 0, если все аргументы равны 0: f(0,0,...,0)=0. Например Ú
___Класс S1: Функции «сохраняющие 1» - это логические функции, значение которых равны 1, если все аргументы равны 1: f(1,1,...,1)=1. Например &
___Класс M: "Монотонные" функции -это логические функции, которые можно выразить через & и Ú.
Монотонную функцию можно распознать по ее таблице истинности. Для этого нужно взять все пары наборов переменных в порядке возрастания их гомеров, которые отличаются всего в одном столбце. Например: 0,0 и 0,1; 0,1 и 1,1. Нельзя, чтобы значение функции при этих наборах было "1", а потом "0" соответственно.
____Класс L:"Линейные" функции – это логические функции, которые можно выразить через Å, 0 и 1.
Чтобы узнать, линейна ли функция, надо выразить ее через полином Жегалкина и посмотреть, не встречается ли там операция &. Если нет, то функция линейна.
____Класс D: «Двойственные» функции f и g, т.е. функции
удовлетворяющие условию f(ù x1, ù x2,..., ù xN) = ù g(x1,x2,...,xN)
Двойственные функции легко обнаружить с помощью простого приема. Надо заменить в таблице истинности все "0" на "1", а все "1" на "0". Полученная таблица истинности и будет таблицей двойственной функции. Пример & и Ú.
____Класс S:"Самодвойственные" функции, т.е. функции, которые двойственны сами себе:
f(ù x1, ù x2,..., ù xN) = ù f(x1, x2,..., xN).
КРИТЕРИЙ ПОСТА::::::::
___Система булевых функций F является полной тогда и только тогда, когда она не содержится ни в одном из классов S0, S1, S, L, M. T.е. когда в ней имеется хотя бы одна функция, не сохраняющая 0, хотя бы одна функция, не сохраняющая 1, хотя бы одна несамодвойственная функция, хотя бы одна немонотонная функция и хотя бы одна нелинейная функция.