§ 5. Свойства порядка натуральных, целых и рациональных чисел

Теорема 1. Дискретность N.

Пусть m, n – произвольные натуральные числа. Тогда

1°. n  1.

2°. n > 1  n–1N.

3°. m > n  m–nN.

4°. m > n  m  n–1.

5°. m+1 > n  m  n.

6°. (m < n < m+1).

Теорема 2.

1°. Принцип наименьшего числа. Любое непустое подмножество в N имеет наименьший элемент.

2°. Множество N не ограничено сверху в R.

Теорема 3. Первые свойства порядка на Z.

Пусть m, n – произвольные целые числа. Тогда

1°. n > 0  nN.

2°. n = 0nN–nN.

3°. Дискретность Z: а) m > n  m  n–1;

б) m+1 > n  m  n;

в) (m < n < m+1).

Теорема 4.

1°. Всякое непустое ограниченное снизу подмножество из Z имеет наименьший элемент.

2°. Всякое непустое ограниченное сверху подмножество из Z имеет наибольший элемент.

3°. Множество Z не ограничено сверху и снизу в R.

Целая и дробная части числа. [a]. {a}.

Теорема 5. Всякое действительное число обладает целой частью.

Теорема 6. Свойства порядка на Q.

1°. Порядок на Q плотный.

2°. Q не ограничено сверху и снизу в R.

3°. Q плотно в R.

Теорема 7. Принцип Архимеда.

1°. (a)(b>0)(nN)(nb > a).

2°. (a)(b>1)(nN)(a < bⁿ).

3°. (a)(b>0)(nZ)(nb  a < (n+1)b).

4°. (a)(b>1)(nZ)(bⁿ  a < bⁿ⁺¹).

Теорема 8. Поле C невозможно превратить в линейно упорядоченное поле.

Теорема 9. Кольцо Z и поле Q допускают только единственное линейное упорядочение.

§ 5. Идеалы коммутативных колец

Определение идеала.

Примеры идеалов.

1. 0 и А.

2. Главные идеалы. (а).

Пересечение, сумма, объединение возрастающей цепочки идеалов. Идеал, порождённый множеством М: (М).

Теорема. Свойства операций над идеалами.

1°. Пересечение, сумма, объединение возрастающей цепочки идеалов также являются идеалами.

2°. Объединение идеалов, вообще говоря, не является идеалом.

3°. Наименьший идеал I(M) кольца А, содержащий подмножество М кольца, совпадает с идеалом (М) порождённым множеством М.

§ 6. Сравнение по идеалу. Фактор-кольца

Сравнение по идеалу. a º b (mod I).

Теорема 1. Свойства сравнения по идеалу.

1°. Сравнение по идеалу является отношением эквивалентности.

2°. Сравнение по идеалу согласуется со сложением.

3°. Сравнение по идеалу согласуется с умножением.

4°. Классы эквивалентности отношения сравнения по идеалу имеют вид K_a = I+a.

Теорема-определение 2. Множество A/I классов эквивалентности является кольцом относительно операций Å и Ä, которые определяются следующим образом: (I+a)Å(I+b) = I+(a+b), (I+a)Ä(I+b) = I+(a×b).

Это кольцо называется фактор-кольцом кольца A по идеалу I: á A/I; Å, Äñ.

Кольца классов вычетов. Z_m = Z/(m)

Теорема 3. Строение колец классов вычетов.

1. Если m – число простое, то Z_m – поле.

2. Если m – число составное, то Z_m содержит делители нуля.

3. Всякий ненулевой элемент кольца Z_m является либо делителем нуля, либо делителем единицы (обратимым элементом).

4. G =  : (a, m) = 1.