Глава 4. Матрицы и определители
§ 1. Операции над матрицами
Равенство двух матриц. Сумма двух матриц. Произведение матрицы на число. Матрица как особым образом записанный вектор. Свойства сложения и умножения на число (см. теоремы 2.3.1 и 2.3.2).
Произведение матриц.
cij
=
;
“скалярное произведение” строки и
столбца:
.
Теорема 1. Свойства умножения матриц.
1°. Умножение не коммутативно.
2°. Умножение ассоциативно.
3°. Умножение связано со сложением законами дистрибутивности.
4°. Существует единичная матрица.
5°. ($A)($B)(A ¹ qÙB ¹ qÙAB = q).
Квадратные матрицы. Значение многочлена от матрицы.
Матричные единицы Eij – стандартный базис Pmn.
Умножение матричных единиц. Перестановочность матриц.
Элементарные матрицы (= матрицы элементарных преобразований). Результат умножения элементарных матриц слева и справа на данную.
Транспонирование матриц. Свойства транспонирования. Симметрические и кососимметрические матрицы.
Сравнение ранга произведения матриц с рангами множителей.
Ck = A1b1k+ A2b2k+ ... + Anbnk, Ck = ak1B1+ak2B2+ ... +aknBn.
§ 2. Обратная матрица. Условие обратимости матрицы
Матрица, обратная для данной.
Не всякая матрица имеет обратную.
Теорема 1. Простейшие свойства обратной матрицы.
1°. Всякая матрица может иметь не более одной обратной.
2°. E–1 = E.
3°. (A–1)–1 = A.
4°. (AB)–1 = B–1A–1.
Вырожденные и невырожденные квадратные матрицы.
Теорема 2. Критерий обратимости матрицы.
Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.
Лемма 1. Всякое строчечное (столбцовое) элементарное преобразование матрицы можно реализовать путём умножения этой матрицы слева (справа) на соответствующую элементарную матрицу.
Лемма 2. Для того чтобы матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы её можно было привести к единичной матрице с помощью только строчечных элементарных преобразований.
Лемма 3. Если строки (столбцы) матрицы A (B) линейно зависимы и C = AB, то точно такая же линейная зависимость выполняется для строк (столбцов) матрицы С.
Практический способ вычисления обратной матрицы:
A|E
...
E|A–1.
Матричные уравнения.
Запись СЛУ в виде одного матричного уравнения специального вида. Терема Крамера в матричной форме.
§ 3. Перестановки и подстановки
Перестановки. Запись перестановки. Число перестановок n элементов. Инверсии. Чётные и нечётные перестановки. Транспозиции.
Теорема. Свойства транспозиций.
1°. От любой перестановки можно перейти к любой другой перестановке с помощью нескольких транспозиций.
2°. Всякая транспозиция изменяет чётность перестановки.
Подстановки. Sn. Запись подстановок. Чётность подстановки. Корректность определения чётности подстановки. Знак подстановки. (–1)s().