Тематический план курса «Избранные вопросы алгебры»

№	Наименование разделов и тем	Всего часов	В том числе аудиторных			СР
			Всего	Лек-ции	Пр. зан.
15.	Элементы теории групп Теорема о факторизации. Алгебры и алгебраические системы. Изоморфизм алгебр. Примеры и простейшие свойства групп. Целые степени элемента группы. Порядок элемента. Циклические группы. Подгруппы. Теорема Кэли. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы. Фактор-группы. Гомоморфизмы и эпиморфизмы групп. Теорема об эпимоморфизмах.	40	22	10	12	18
16.	Кольца и поля Примеры и простейшие свойства колец и полей. Разность и частное, их свойства. Изоморфизм колец и полей. Подкольцо. Подполе. Характеристика кольца. Упорядоченные кольца и поля. Модуль элемента. Свойства порядка натуральных, целых и рациональных чисел: дискретность N и Z, неограниченность N, Z и Q в R. принцип Архимеда. Идеалы колец. Сравнение по идеалу. Фактор-кольца. Кольца классов вычетов. Гомоморфизмы и эпиморфизмы колец. Теорема об эпиморфизмах.	66	34	16	18	32
17.	Элементы теории делимости в целостных кольцах Отношение делимости в целостных кольцах. Ассоциированность элементов. Разложение на простые множители. Факториальные кольца (кольца с однозначным разложением), кольца с неоднозначным разложением, кольца без разложения. Кольца главных идеалов. Евклидовы кольца.	29	13	7	6	16
18.	Поле частных целостного кольца Определение и строение поля частных. Изоморфизм полей частных. Теорема о существовании поля частных целостного кольца.	9	3	3	0	6
	Итого	144	72	36	36	72

Перечень практических занятий

Перечень заданий, как правило, избыточен, поэтому преподавателю предоставляется право выбирать задания.

1 Семестр

Занятие 1. Операции над множествами. Свойства включения.

[5]: 1.3.1, 1.3.2, 1.3.5, 1.3.9, 1.4.8 – 1.4.10, 1.4.17 – 1.4.20.

[8]: ИЗ 1.

Занятие 2. Высказывания и предикаты.

[5]: 1.1.1, 1.1.6 – 1.1.9, 1.1.12, 1.1.18 – 1.1.21.

[8]: ИЗ 2 – ИЗ 5.

Занятие 3. Бинарные отношения. Отношения эквивалентности и порядка.

[5]: 1.5.17 – 1.5.19, 1.5.26; 1.7.1, 1.7.9, 1.7.14, 1.7.15; 1.8.1 – 1.8.3, 1.8.8.

[8]: ИЗ 8 – ИЗ 10, ГЗ 2.

Занятие 4. Функции и отображения.

[5]: 1.6.1, 1.6.3, 1.6.6, 1.6.7, 1.6.19 – 1.6.21, 1.6.23.

[8]: ГЗ 3.

Занятие 5. Метод математической индукции. Делимость целых чисел, деление с остатком.

[5]: 2.5.16, 2.5.20, 2.5.24 – 2.5.27; 8.8.16.

[8]: ИЗ 12, ИЗ 47.

Занятие 6. Определение и свойства групп.

[5]: 2.1.1, 2.1.2 а) – б), 2.1.6, 2.1.7, 2.1.13.

[8]: ИЗ 23.

Занятие 7. Определение и свойства колец и полей.

[5]: 2.4.1, 2.4.34, 2.4.38 а) – в), 2.4.55.

[8]: ИЗ 28.

Занятие 8. Подалгебры и изоморфизм алгебр.

[5]: 2.2.3, 2.2.4, 2.4.39, 2.4.41, .4.43, 2.4.45; 2.2.6–2.2.7, 2.3.70, 2.4.69.

[8]: ИЗ 27.

Занятие 9. Решение систем линейных уравнений.

[6]: 693, 699, 692, 703, 704, 709.

[8]: ИЗ 13.

Занятие 10. Исследование систем линейных уравнений.

[6]: 712, 714 – 717.

[8]: ИЗ 14.

Занятие 11. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

[5]: 4.1.7, 4.1.8.

[6]: 642 – 644.

[8]: ИЗ 16.

Занятие 12. Базис и ранг системы векторов.

[5]: 4.2.6, 4.2.10 – 4.2.14.

[6]: 673 – 676, 679 – 681.

[8]: ИЗ 17.

Занятие 13. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Многообразие решений системы линейных уравнений.

[6]: 737 – 741, 724 – 727.

[8]: ИЗ 15.

Занятие 14. Операции над матрицами.

[6]: 790 – 792, 804, 809, 827, 828, 815, 824.

[8]: ИЗ 18.

Занятие 15. Обратная матрица. Матричные уравнения.

[6]: 840 – 843, 876, 865 – 867, 869.

[8]: ИЗ 19.

Занятие 16. Определение и свойства определителя.

[6]: 188, 198, 200, 204, 205, 212.

[8]: ИЗ 20 – ИЗ 21, ГЗ 5.

Занятие 17. Вычисление определителей.

[6]: 44 – 47, 236, 260 – 263.

[8]: ИЗ 20, ГЗ 6.

Занятие 18. Теорема Крамера. Определитель произведения матриц.

[6]: 554 – 558.

[7]: 374, 375.

[8]: ИЗ 22.