§ 8. Определение системы действительных чисел

Аксиомы системы действительных чисел. R. Группы аксиом А, М, АМ, О, ОА, ОМ, С.

Важнейшие свойства операций. Разность и частное.

Важнейшие свойства порядка. Свойство трихотомии. Неотрицательность квадрата.

§ 9. Система натуральных чисел. Принцип математической индукции

Индуктивные множества. N.

Теорема 1. Первые свойства N.

1°. 1ÎN.

2°. ("n)(nÎN ® n+1ÎN)/

3°. (ПМИ) (MÌN)(1ÎN)("n)(nÎN ® n+1ÎN) Þ MÌN.

Метод математической индукции. Обоснование ММИ. База индукции. Шаг индукции.

Разновидности метода математической индукции. Возвратная индукция. Примеры доказательства методом математической индукции.

Теорема 2. Свойства операций в N.

1°. Сумма любых двух натуральных чисел является натуральным числом.

2°. Произведение любых двух натуральных чисел является натуральным числом.

Дискретность N. Принцип наименьшего числа. Неограниченность N в R.

§ 10. Системы целых и рациональных чисел

Определения целого и рационального чисел. Z. Q.

Теорема 1. Свойства операций в Z.

Множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения.

Дискретность Z. Неограниченность Z в R. Целая часть числа.

Теорема 2. Свойства операций в Q.

Множество рациональных чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления на ненулевое число.

Свойство плотности Q. Плотность Q в R.

Глава 2. Основные алгебраические структуры

§ 1. Алгебраические операции. Алгебры. Алгебраические системы. Группы

Понятия бинарной и n-местной алгебраической операции. Алгебры. Алгебраические системы.

Некоторые свойства бинарных операций: коммутативность, ассоциативность, нейтральные элементы, аннулирующие элементы, обратные элементы, обратимость операции; дистрибутивности. Полугруппы. Квазигруппы. Лупы.

Два определения группы.

Теорема 1. Определения группы эквивалентны.

Примеры групп.

1. Группы чисел по сложению: Z, Q, R, C, 2Z.

2. Группы чисел по умножению: Q^*, R^*, R .

3. Группа P(M) всех биективных преобразований некоторого множества М.

Теорема 2. Простейшие свойства групп.

1°. В группе нейтральный элемент единственный.

2°. В группе обратный для данного элемент единственный.

3°. (a^–1)^–1 = a.

4°. (ab)^–1 = b^–1a^–1.

Мультипликативная и аддитивная записи и терминология.

Изоморфизмы групп.

Теорема 3. Свойства изоморфизма групп.

1°. Тождественное отображение группы является изоморфизмом.

2°. Отображение, обратное изоморфизму, является изоморфизмом групп.

3°. Композиция двух изоморфизмов является изоморфизмом.

Отношение изоморфизма. @.

Теорема 4. Отношение изоморфизма в классе групп является отношением эквивалентности.