§ 5. Решение сравнений первой степени

ax  b (mod m).

Теорема. 1. Если (a, m) = 1, то сравнение имеет решение, причем единственное.

2. Если (a, m) = d и b не делится на d, то сравнение не имеет решений.

3. Если (a, m) = d и b делится на d, то сравнение имеет d различных решений, которые составляют один класс вычетов по модулю .

Способы решения сравнений ax  b (mod m) в случае, когда (a, m) = 1:

1. подбор (перебор элементов полной системы вычетов);

2. использование теоремы Эйлера;

3. использование алгоритма Евклида;

4. вариация коэффициентов (использование свойства 2 полной системы вычетов из Теоремы 2.2);

§ 6. Неопределенные уравнения первой степени

ax+by = c.

Теорема. Уравнение ax+by = c разрешимо тогда и только тогда, когда c (a, b).

В случае (a, b) = 1 все решения уравнения задаются формулами

tZ, где x₀ является каким-либо решением сравнения

ax  c (mod b), y₀ = .

Диофантовы уравнения.

ГЛАВА 10. Комплексные числа

§ 1. Определение системы комплексных чисел. Существование системы комплексных чисел

Определение системы комплексных чисел.

Теорема. Система комплексных чисел существует.

Модель: R² с операциями

(a, b)+(c, d) = (a+c, b+d), (a, b)×(c, d) = (ac–bd, bc+ad),

i = (0, 1) и отождествлением а = (а, 0).

§ 2. Алгебраическая форма комплексного числа

Представление комплексного числа в виде z = a+bi, где a, bÎR, i² = –1. Единственность такого представления. Re z, Im z.

Правила выполнения арифметических действий над комплексными числами в алгебраической форме.

Арифметическое n-мерное векторное пространство Cⁿ. Системы линейных уравнений, матрицы и определители над C.

Извлечение квадратных корней из комплексных чисел в алгебраической форме.

§ 3. Геометрическое изображение комплексных чисел

Действительная и мнимая части, модуль и аргумент комплексного числа. Связь между ними.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Теорема. Всякое комплексное число единственным образом представляется в тригонометрической форме.

Свойства модуля комплексного числа, связанные со сложением и вычитанием.

§ 4. Тригонометрическая форма комплексного числа

Теорема 1. Если z₁ = r₁(cos j₁+isin j₁), z₂ = r₂(cos j₂+isin j₂), то

а) z₁ z₂ = r₁ r₂ (cos (j₁+j₂)+isin (j₁+j₂)); б) = (cos (j₁–j₂)+isin (j₁–j₂)).

Следствие.

= , ; arg (z₁ z₂) = arg z₁+arg z₂, arg = arg z₁–arg z₂.

Теорема 2. Формулы Муавра.

1. Если z = r(cos j+isin j), nÎN, то zⁿ = rⁿ(cos nj+isin nj).

2. Если z = r(cos j+isin j), nÎZ, то zⁿ = rⁿ(cos nj+isin nj).

§ 5. Комплексно сопряжённые числа

Теорема. Свойства комплексно сопряжённых чисел.

1°. Re = Re z, Im = –Im z.

2°. , arg = –arg z.

3°. = z.

4°. zÎR Û = z.

5°. +zÎR, ×zÎR.

6°. z₁+z₂ÎRÙ z₁×z₂ÎR Þ z₁,×z₂ÎRÚz₁ = .

7°. для любой арифметической операции *.

8°. Если комплексное число w получено из комплексных чисел z₁, z₂, ..., z_n с помощью четырёх арифметических операций: w = f(z₁, z₂, ..., z_n), то, заменив числа z₁, z₂, ..., z_n на числа, комплексно сопряжённые им, и проделав те же операции, и в том же порядке, получим число, комплексно сопряжённое w: .