Рекомендуемая литература Основная литература
1. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1974.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
3. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.
4. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
5. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М.: Просвещение, 1993.
6. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984.
7. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
8. Моисеев С.А., Суворов Н.М. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. Рязань: Изд-во РГУ, 2006.
Дополнительная литература
9. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. Элементы теории множеств. Линейные уравнения и неравенства. Матрицы и определители. М.: Просвещение, 1974.
10. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С., Стеллецкий И.В. Алгебра. Группы, кольца, поля. Векторные и евклидовы пространства. Линейные отображения. М.: Просвещение, 1978.
11. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. М.: Просвещение, 1980.
12. Казачек Н.А., Перлатов Г.Н., Виленкин Н.Я., Бородин А.И. Алгебра и теория чисел. М.: Просвещение, 1984.
13. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986.
14. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973.
15. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970.
16. Постников М.М. Теория Галуа. М.: Физматгиз, 1963.
17. Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1964.
17. Сборник задач по алгебре: Учебное пособие /Под ред. А.И.Кострикина. М.: Факториал, 1995.
Приложение 1.
План-конспект курсов алгебры и теории чисел и избранных вопросов алгебры
Глава 1. Элементы теории множеств, математической логики, числовых систем
§ 1. Множества, элементы, подмножества
Множества и элементы. aÎA. Конечные и бесконечные множества. Способы задания множества. {a1, a2, ..., an}, {xêj(x)}. N, Z, Q, R, C, R+, R*.
Равенство и неравенство множеств. Подмножества. AÌB. Пустое и универсальное множества. Æ, U.
Теорема. Свойства включения.
1°. AÌA.
2°. AÌBÙBÌC Þ AÌC.
3°.ÆÌA, AÌU.
4°.
AÌBÙBÌA
Û
A = B.
5°. Пустое множество единственное.
§ 2. Операции над множествами
Пересечение, объединение, разность симметрическая разность двух множеств. Дополнение множества. Ç, È, \, ¯. Диаграммы Эйлера-Венна.
Теорема. Свойства операций.
1°. AÇA = A;
2°. AÇB = BÇA;
1¢. AÈA = A;
2¢. AÈB = BÈA;
3°. (AÇB)ÇC = AÇ(BÇC);
4°. AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC);
5°. A\(BÇC) = (A\B)È(A\C);
6°.
;
7°. AÇ(AÈB) = A;
8°.
AÇ
= Æ;
9°. AÇÆ = Æ, AÇU = A;
3¢. (AÈB)ÈC = AÈ(BÈC);
4¢. AÈ(BÇC) = (AÈB)Ç(AÈC);
5¢. A\(BÈC) = (A\B)Ç(A\C);
6¢.
;
7¢. AÈ(AÇB) = A;
8¢. AÈ = U;
9¢. AÈU = U, AÈÆ = A;
10°.
= A;
11°. AÌB Û AÇB = A Û AÈB = B;
§ 3. Декартово (прямое) произведение множеств. Бинарные отношения
Упорядоченная пара элементов. (a, b).
Основное свойство: (a, b) = (c, d) Û a = cÙb = d.
Декартово произведение двух множеств. А1´А2.
Упорядоченная n-ка элементов (кортеж длины n). (а1, а2, ..., аn). Декартово произведение n множеств. Декартов квадрат А2 и декартова степень Аn.
Бинарные отношения. Проекции, график, граф бинарного отношения. Обратное бинарное отношение. -1. Частные виды бинарных отношений. Всюду определённые, сюръективные, функциональные, инъективные, биективные бинарные отношения.
Рефлексивные, антирефлексивные, симметричные, асимметричные, антисимметричные, транзитивные, линейные (= связные) бинарные отношения. Диагональное и универсальное отношения.