Глава 12. Кольцо многочленов от нескольких переменных
§ 1. Кольцо многочленов от n переменных
A[x1 x2, ..., xn–1, xn] = A[x1 x2, ..., xn–1][xn].
Теорема 1. Наследование свойств кольца.
Если кольцо А коммутативно или ассоциативно, или содержит единицу, или является целостным кольцом, или факториальное кольцо, то этим же свойством обладает кольцо многочленов A[x1 x2, ..., xn–1, xn].
Степень многочлена
относительно переменной xi,
cтепень
многочлена относительно совокупности
переменных. deg
f,
deg
f.
Однородные многочлены (формы) степени
n.
Теорема 2. Свойства степени.
1°. deg (f ± g) £ max {deg f , deg g}; deg (f ± g) £ max {deg f , deg g}.
2°. deg (f × g) £ deg f + deg g; deg (f × g) £ deg f + deg g.
3°. Если кольцо А целостное, то
deg (f × g) = deg f + deg g; deg (f × g) = deg f + deg g.
Многочленная функция : Аn ® А, соответствующая многочлену f = f (x1 x2, ..., xn).
Теорема 3. Свойства кольца многочленных функций.
1°.
Множество
всех многочленных функций является
подкольцом в кольце всех функций,
отображающих Аn
в А.
2°. Соответствие F: f является эпиморфизмом кольца многочленов
А[x1 x2, ..., xn] на кольцо многочленных функций .
3°. Если кольцо А бесконечное, то F является изоморфизмом.
§ 2. Лексикографическое (алфавитное) упорядочение многочлена от n переменных
Лексикографический порядок на множестве (неподобных) одночленов многочлена. ≻.
Теорема. Свойства лексикографического порядка ≻.
1°. Отношение ≻ транзитивно.
2°. Отношение ≻ линейно.
3°. Отношение ≻ стабильно относительно умножения на одночлен.
Следствие. Лемма о высшем члене произведения.
Высший член произведения многочленов равен произведению высших членов множителей.
§ 3. Симметрические многочлены
Действие подстановки на многочлен f. Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Степенные суммы.
Теорема 1. Множество SA[x1 x2, ..., xn] симметрических многочленов от n переменных образует подкольцо в кольце A[x1 x2, ..., xn] многочленов от n переменных.
Лемма 1.
Если ax
x
... x
– высший член симметрического многочлена
в лексикографическом упорядочении, то
последовательность его показателей
степени составляет нестрого убывающую
последовательность: a1
³
a2
³
... ³
an.
Лемма 2.
Для любого одночлена ax
x
... x
,
показатели степени которого образуют
нестрого убывающую последовательность:
a1
³
a2
³
... ³
an,
существует, и, причём только один,
одночлен от элементарных симметрических
многочленов as
s
... s
,
старший член которого совпадает с этим
одночленом.
Теорема 2. Основная теорема теории симметрических многочленов.
Всякий симметрический многочлен может быть представлен в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.
Теорема 3. Всякий симметрический многочлен единственным образом представляется в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.
Метод неопределённых коэффициентов для выражения однородного симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены.
Связь с формулами Виета.
Решение симметрических систем уравнений.