§ 3. Определения, примеры, простейшие свойства групп

Два определения группы.

Теорема 1. Определения группы эквивалентны.

Примеры групп.

1. Группы чисел по сложению: Z, Q, R, C, 2Z.

2. Группы чисел по умножению: Q^*, R^*, R , C^*, .

3. áRⁿ; +ñ, á ; +ñ.

4. GL(n, R).

5. S_n.

6. Группа P(M) всех биективных преобразований некоторого множества М.

7. Группы движений, подобий, аффинных и проективных преобразований в геометрии.

8. Группы биекций некоторого множества, преобразующих некоторое подмножество этого множества в себя.

Теорема 2. Некоторые конструкции.

1°. Прямое (декартово) произведение групп также является группой.

2°. Эпиморфный образ группы также является группой.

3°. Алгебра, изоморфная группе, сама является группой.

Теорема 3. Простейшие свойства групп.

1°. В группе нейтральный элемент единственный.

2°. В группе обратный для данного элемент единственный.

3°. (a^–1)^–1 = a.

4°. (ab)^–1 = b^–1a^–1.

Мультипликативная и аддитивная записи и терминология.

§ 4. Целые степени элемента группы. Порядок элемента группы. Циклические группы

Определение целой степени элемента группы.

Теорема 1. Свойства целой степени элемента группы.

1°. (a^–1)ⁿ = (aⁿ)^–1 для любого nÎN.

2°. a^maⁿ = a^m+n для любых m, nÎZ.

3°. (a^m)ⁿ = a^m×n для любых m, nÎZ.

Порядок элемента группы. оrd a.

Теорема 2. Свойства порядка.

Пусть ord a = n. Тогда

1°. Элементы a⁰ = e, a, a², ..., a^n–1 различны и любая целая степень элемента a совпадает с одним из этих элементов.

2°. a^k = a^l тогда и только тогда, когда k–l n.

3°. a^k = e тогда и только тогда, когда k n.

4°. При 0 £ k, l < n a^k×a^l =

Определение циклической группы. áаñ.

Примеры циклических групп: áZ; +ñ, á ; ×ñ.

Теорема 3. Изоморфизм циклических групп.

1°. Любые две циклические группы порядка n изоморфны.

2°. Любые две циклические группы бесконечного порядка изоморфны.

§ 5. Подгруппы

Определение и примеры подгрупп.

Теорема 1. Первый критерий подгруппы.

Пусть áG; ×ñ – группа, HÌG. Тогда H является подгруппой группы H, если и только если одновременно выполняются следующие три условия:

1) H ¹ Æ; 2) h₁, h₂ÎH Þ h₁ h₂ ÎH; 3) hÎH Þ h^–1ÎH.

Теорема 2. Второй критерий подгруппы.

Пусть áG; ×ñ – группа, HÌG. Тогда H является подгруппой группы H, если и только если одновременно выполняются следующие два условия:

1) H ¹ Æ; 2) h₁, h₂ÎH Þ h₁ h₂^–1 ÎH.

Теорема 3. О подгруппах циклической группы.

Любая подгруппа циклической группы также является циклической группой.

Пересечение и объединение групп. Объединение возрастающей цепочки подгрупп.

§ 6. Теорема Кэли

Теорема. Любая группа G изоморфна некоторой подгруппе группе биекций некоторого множества. В частности, любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе группы S_n.

Этапы доказательства

1. l_a: x ax – биекция G в G. 2. = {l_a: aÎG} – подгруппа в P(G).

3. F: a l_a – изоморфизм G на .