Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
АТЧ_Моисеев_С.А..doc
Скачиваний:
55
Добавлен:
21.09.2019
Размер:
1.24 Mб
Скачать

§ 4. Евклидовы кольца

Определение евклидова кольца. Норма.

Примеры евклидовых колец.

1. Z. 2. R[x]. 3. Z[i].

Теорема 1. Всякое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.

Теорема 2. В евклидовом кольце последний ненулевой остаток обобщённого алгоритма Евклида двух элементов является НОД этих элементов.

Глава 4. Поле частных целостного кольца

§ 1. Определение и строение поля частных целостного кольца

Определение поля частных. Поле частных кольца Z. Поле частных кольца R.

Теорема 1. Строение поля частных.

Любой элемент поля частных целостного кольца А представляется в виде частного элементов этого кольца.

Теорема 2. Изоморфизм полей частных.

Если целостные кольца А1 и А2 изоморфны, то поля частных этих колец также изоморфны, если они существуют.

§ 2. Существование поля частных целостного кольца

Теорема. Любое целостное кольцо имеет поле частных.

Этапы построения поля частных.

1. Алгебра пар áА´А*; +, ×ñ: коммутативность и ассоциативность операций; не дистрибутивность; наличие нейтральных элементов; необратимость каждой из операций.

2. Отношение сравнения ~ между парами: ~ – отношение эквивалентности, стабильное относительно операций.

3. Фактор-кольцо áА´А*/~; Å, Äñ: фактор-кольцо является полем.

4. Подкольцо фактор-кольца = { : aÎA}: @ A.

5. Фактор-кольцо áА´А*/~; Å, Äñ является полем частных кольца .

Приложение 2

1. Использование теоремы о числе корней ненулевого многочлена

  1. Доказать тождество:

а) (xy)(xz+1)(yz+1)+(yz)(yx+1)(zx+1)+(zx)(zy+1)(xy+1) = (xy)(yz)(zx);

б)

  1. Разложить на множители выражение:

а) a3(bc)(cd)(db)–b3(cd)(da)(ac)+c3(da)(ab)(bd)–d3(ab)(bc)(ca);

б) (ab)3+(bc)3+(ca)3;

в) 4(a2c+c2b+b2a)–2(a2b+b2c+c2a)–7abc;

г) (a+b+c)(ab+bc+ca)–abc;

д) ab(ab)–ac(a+c)+bc(2ab+c);

е) a2(bc)+b2(ca)+c2(ab);

ж) a3(bc)+b3(ca)+c3(ab);

з) ab(a2b2)+bc(b2c2)+ca(c2a2).

  1. Доказать, что функция sin не является многочленом.

  2. Пусть a, b, c–различные числа. Легко проверить, что эти числа являются корнями многочлена

Нет ли здесь противоречия с теоремой о числе корней многочлена?

2. Доказательство неравенств

А. Выделение полного квадрата

1. Доказать, что для любых чисел a , b , c справедливо неравенство a2+b2+c2 ab+bc+ca, причем равенство выполняется, если только a = b = c.

  1. Доказать, что для любых a справедливо неравенство a4–a+0,5 > 0.

  2. Известно, что уравнение x4+ax3+2x2+bx+1 = 0 имеет хотя бы один корень. Доказать, что справедливо неравенство a2+b2 8.

  3. a2+b2–2ab+2a–2b+1 0.

  4. a2+4b2+4b–4a+5 0.

Б. Использование свойств квадратичной функции

  1. Доказать, что при всех a 0 справедливо неравенство 10a39a2+9a+ > 0.

  2. Доказать, что при любых значениях a и b имеет место неравенство a2+2ab+3b2+2a+6b+4 1.

  3. Доказать, что если (a+c)(a+b+c) < 0 и a 0, то справедливо неравенство

(bc)2 > 4a(a+b+c).

  1. Про положительные числа a1, b1, c1, a2, b2, c2 известно, что b12 a1c1, b22

a2c2. Доказать, что (a1+a2+5)(c1+c2+2) > (b1+b2+3)2.

  1. Доказать, что при любых значениях а справедливо неравенство (a3–a+2)2 > > 4a2(a2+1)(a–2).

  2. Доказать, что если ненулевые действительные числа a, b, c удовлетворяют равенствам a+b+c = abc, a2 = bc, то a2 3.

  3. Уравнение ax2+bx+c = 0 не имеет действительных корней, a+b+c < 0. Какой знак имеет число c?

  4. Доказать, что если a, b и c–стороны треугольника, то уравнение

b2x2+(b2+c2–a2)x+c2 = 0 не имеет действительных корней.

  1. Доказать, что выражение 3 неотрицательно при любых ненулевых x и y.

  2. Доказать, что если числа a, b, c удовлетворяют условиям a+b+c = 5, ab+bc+ca = 8, то 1 a , 1 b , 1 c .

  3. Доказать, что если a+b+c > 0, ab+bc+ca > 0, abc > 0, то числа a, b, c положительные.