Содержание учебной дисциплины

«Алгебра и теория чисел»

1. Элементы теории множеств, математической логики, числовых систем. Множества и операции над ними. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и отношение порядка Отображения, композиция отображений, обратимые отображения. Высказывания и предикаты. Отношения следования и равносильности. Системы действительных, рациональных, целых и натуральных чисел.

2. Основные алгебраические структуры. Алгебраические операции. Группа, кольцо, поле. Простейшие свойства групп, колец, полей. Подгруппа. Подкольцо. Подполе. Изоморфизм алгебраических структур.

3. Системы линейных уравнений. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной систем. Свойства решений однородной системы уравнений.

4. Матрицы и определители. Операции над матрицами и их свойства. Обратная матрица. Условие обратимости матрицы. Перестановки и подстановки. Определение определителя. Свойства определителя. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу. Определитель произведения матриц. Теорема о ранге матрицы.

5. Векторные пространства. Определение, примеры, простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Конечномерные векторные пространства. Базис и размерность конечномерного векторного пространства. Координаты вектора относительно данного базиса. Подпространство. Пересечение, сумма и прямая сумма подпространств. Связь между координатами векторов относительно различных базисов. Изоморфизм векторных пространств.

6. Евклидовы пространства. Скалярное произведение, евклидовы и унитарные пространства. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность. Процесс ортогонализации. Ортонормированный базис, его существование. Ортогональное дополнение к подпространству, свойства ортогонального дополнения. Изоморфизм евклидовых пространств.

7. Линейные отображения и линейные операторы. Понятия линейного отображения и оператора. Операции над линейными отображениями. Ранг, дефект, ядро и образ линейного отображения. Обратимые операторы. Изоморфизм алгебры операторов и полной матричной алгебры. Собственные числа и собственные векторы оператора, связь с матричными понятиями. Характеристический многочлен оператора. Теорема Гамильтона-Кэли для операторов. 8. Теория делимости целых чисел. Отношение делимости. Теорема о делении с остатком для целых чисел. Систематическая запись натуральных чисел. НОД и НОК чисел. Взаимно простые числа. Простые числа и основная теорема арифметики. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение.

9. Теория сравнений. Числовые сравнения и их свойства. Классы вычетов. Полная и приведенная системы вычетов. Функция Эйлера. Теорема Эйлера. Сравнений первой степени. Диофантовы уравнения. Признаки делимости

10. Комплексные числа. Определение поля комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме. Извлечение корней из комплексных чисел. Комплексно сопряженные числа

11. Многочлены от одной переменной. Кольцо многочленов от одной переменной над коммутативным кольцом. Теорема Безу. Схема Горнера. Корни многочлена. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов. Теорема о делении с остатком для многочленов над полем. Приводимые и неприводимые многочлены. Каноническое разложение многочлена над полем. Формальная производная. Формула Тейлора. Кольцо многочленов над факториальным кольцом.

12. Многочлены от нескольких переменных. Понятие многочлена от нескольких переменных. Степень многочлена. Лексикографическое упорядочение членов многочлена. Симметрические многочлены. Основная теорема теории симметрических многочленов.

13. Многочлены над числовыми полями. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Разложение многочлена над полем комплексных чисел в произведение неприводимых множителей. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Разложение многочлена над полем действительных чисел в произведение неприводимых множителей. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Критерий Эйзенштейна.

14. Расширения полей. Простое алгебраическое расширение поля и его строение. Конечное расширение поля. Алгебраическое расширение поля. Составное алгебраическое расширение поля. Поле алгебраических чисел и его алгебраическая замкнутость. Простота конечного расширения.

Содержание учебной дисциплины «Избранные вопросы алгебры» (мы продолжаем нумерацию глав) 15. Элементы теории групп. Теорема о факторизации. Алгебры и алгебраические системы. Изоморфизм алгебр. Примеры и простейшие свойства групп. Целые степени элемента группы. Порядок элемента. Циклические группы. Подгруппы. Теорема Кэли. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы. Фактор-группы. Гомоморфизмы и эпиморфизмы групп. Теорема об эпимоморфизмах.

16. Кольца и поля. Примеры и простейшие свойства колец и полей. Разность и частное, их свойства. Изоморфизм колец и полей. Подкольцо. Подполе. Характеристика кольца. Упорядоченные кольца и поля. Модуль элемента. Свойства порядка натуральных, целых и рациональных чисел: дискретность N и Z, неограниченность N, Z и Q в R, принцип Архимеда. Идеалы колец. Сравнение по идеалу. Фактор-кольца. Кольца классов вычетов. Гомоморфизмы и эпиморфизмы колец. Теорема об эпиморфизмах.

17. Элементы теории делимости в целостных кольцах. Отношение делимости в целостных кольцах. Ассоциированность элементов. Разложение на простые множители. Факториальные кольца (кольца с однозначным разложением), кольца с неоднозначным разложением, кольца без разложения. Кольца главных идеалов. Евклидовы кольца.

18. Поле частных целостного кольца. Определение и строение поля частных. Изоморфизм полей частных. Теорема о существовании поля частных целостного кольца.