§ 2. Подгруппы

Определение и примеры подгрупп.

Теорема 1. Первый критерий подгруппы.

Пусть áG; ×ñ – группа, HÌG. Тогда H является подгруппой группы H, если и только если одновременно выполняются следующие три условия:

1) H ¹ Æ; 2) h₁, h₂ÎH Þ h₁ h₂ ÎH; 3) hÎH Þ h^–1ÎH.

Теорема 2. Второй критерий подгруппы.

Пусть áG; ×ñ – группа, HÌG. Тогда H является подгруппой группы H, если и только если одновременно выполняются следующие два условия:

1) H ¹ Æ; 2) h₁, h₂ÎH Þ h₁ h₂^–1 ÎH.

§ 3. Кольца и поля

Примеры колец: Z, Q, R, R[x],

Нулевой и единичный элементы, противоположный и обратный элементы.

Теорема 1. Свойства противоположных и обратных.

1°. В кольце нуль и единица единственные.

2°. В кольце каждый элемент имеет единственный противоположный;

в поле каждый ненулевой элемент имеет единственный обратный.

3°. В кольце: –0 = 0; в поле: 1^–1 = 1.

4°. –(a+b) = (–a)+(–b); (ab)^–1 = a^–1b^–1.

5°. –(–a) = a; (a^–1)^–1 = a.

Теорема 2. О расщеплении.

1°. В кольце ("a)("b)($!c)(b+c = a).

2°. В поле ("a)("b¹0)($!c)(b×c = a).

Разность и частное: a–b, .

Изоморфизм колец и полей. Отношение изоморфизма @.

Теорема 3. Свойства изоморфизма колец и полей.

1°. Тождественное отображение является изоморфизмом.

2°. Отображение, обратное изоморфизму, является изоморфизмом.

3°. Композиция двух изоморфизмов является изоморфизмом.

4°. Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности.

§ 4. Подкольца и подполя

Определение и примеры подколец и подполей.

Теорема 1. Первый критерий подкольца.

Пусть áA; +, ×ñ – кольцо, BÌA. Тогда B является подкольцом кольца A, если и только если одновременно выполняются следующие четыре условия:

1) B ¹ Æ; 2) a₁, a₂ÎB Þ a₁+a₂ ÎB; 3) aÎB Þ –aÎB; 4) a₁, a₂ÎB Þ a₁ a₂ ÎB.

Теорема 2. Второй критерий подкольца.

Пусть áA; +, ×ñ – кольцо, BÌA. Тогда B является подкольцом кольца A, если и только если одновременно выполняются следующие три условия:

1) B ¹ Æ; 2) a₁, a₂ÎB Þ a₁–a₂ ÎB; 3) a₁, a₂ÎB Þ a₁ a₂ ÎB.

Теорема 3. Критерий подполя.

Пусть áA; +, ×ñ – поле, BÌA. Тогда B является подполем поля A, если и только если одновременно выполняются следующие три условия:

1) B^* ¹ Æ; 2) a₁, a₂ÎB Þ a₁–a₂ ÎB; 3) a₁, a₂Î B^* Þ a₁ a₂^–1 Î B^*.

Теорема 4. Особенности числовых подколец и подполей.

1°. Кольцо целых чисел является наименьшим числовым кольцом с единицей.

2°. Поле рациональных чисел является наименьшим числовым полем.

3°. Всякий изоморфизм числовых полей действует тождественно на множестве рациональных чисел.

Глава 3. Системы линейных уравнений. Арифметическое n-мерное векторное пространство