§ 6. Корни из комплексных чисел

Теорема. Пусть zÎC, z ¹ 0, nÎN, n > 1. Тогда существует в точности n корней степени n из числа z. Если z = r(cos j+isin j) – тригонометрическая форма z, то все корни могут быть найдены по формуле

. (1)

Этапы доказательства:

1) очерчивание круга поиска; 2)числа вида (1) различны;

3) любой корень степени n из z совпадает с одним из чисел (1).

Корни из единицы. . Первообразные корни.

Теорема. Свойства корней из единицы.

1°. Произведение и частное корней степени n из единицы также являются корнями степени n из единицы.

2°. Если w – один из корней степени n из числа z, то множество всех корней степени n из числа z может быть получено умножением w на значения корней степени n из единицы: .

3°. Для любого nÎN существует первообразный корень степени n из единицы: e₁ = соs +isin .

4°. Число eÎ является первообразным корнем из единицы тогда и только тогда, когда все числа e⁰ = 1, e¹, e², ..., e^n–1 различны.

5°. Сумма всех корней степени n из ненулевого числа равна нулю.

Глава 11. Кольцо многочленов от одной переменной

§ 1. Определение многочлена

Многочлен как бесконечная последовательность элементов кольца А, в которой только конечное число элементов отлично от нуля. М_А. Операции сложения и умножения многочленов. Степень многочлена. deg f.

Теорема 1. Наследование свойств кольца.

1°. Сумма и произведение двух многочленов над кольцом также являются многочленами.

2°. Алгебра многочленов áМ_А; +, ×ñ над кольцом также является кольцом.

3°. Если кольцо А коммутативно или ассоциативно, или кольцо с единицей, или целостное кольцо, то этим же свойством обладает кольцо áМ_А; +, ×ñ.

Теорема 2. Свойства степени многочлена.

1°. deg (f ± g) £ max {deg f , deg g}.

2°. deg (f × g) £ deg f + deg g.

3°. Если кольцо А целостное, то deg (f × g) = deg f + deg g.

Многочлен x. Натуральные степени многочлена x. Стандартная форма многочлена: a_nxⁿ+a_n–1x ^n–1+ ... +a₁x+a₀. Условие равенства двух многочленов, записанных в стандартной форме. А[x].

§ 2. Многочленные функции

Многочленная функция : А ® А, соответствующая многочлену f.

Теорема. Свойства кольца многочленных функций.

1°. Множество всех многочленных функций является подкольцом в кольце всех функций F_A, отображающих А в А.

2°. Соответствие F: f является эпиморфизмом кольца многочленов А[x] на кольцо многочленных функций .

3°. Для конечного кольца А соответствие F изоморфизмом не является.

§ 3. Деление многочлена на двучлен х--a. Схема Горнера

Теорема 1. Если fÎA[x], aÎA, то многочлен f(x) можно, причём единственным образом, представить в виде

f = (х–a)g(x)+r,

где gÎA[x], rÎA. При этом r = (a).

Схема Горнера.

Разложение многочлена по степеням двучлена х–a.

Теорема 2. Если fÎA[x], aÎA, то многочлен f можно, причём единственным образом, разложить по степеням двучлена х–a.