§ 7. Неприводимые многочлены. Факториальность кольца многочленов над полем

Приводимые и неприводимые многочлены.

Теорема 1. Свойства неприводимых (простых) многочленов.

1. p – простойp f  f Pf = cp, где сP.

2. Если p₁, p₂ – не асоциированные простые многочлены, то они не делятся друг на друга.

3. p – простой  (f)(f p(f, p) = 1).

4. f₁f₂ ... f_n p p – простой  f₁ pf₂ p ... f_n p.

Теорема 2. Теорема о факторизации.

Всякий многочлен ненулевой степени либо является простым многочленом, либо представляется в виде произведения простых многочленов, причем такое представление единственное, с точностью до скаляра и порядка следования множителей.

Каноническое разложение (факторизация) многочлена.

Следствие 1. Всякий составной многочлен имеет единственное каноническое разложение.

Следствие 2. Если f имеет каноническое разложение f = , то gf  g = , где 0  _i  _i для всех i = .

Следствие 3. Правила отыскания НОД и НОК.

Пусть f = , g = – почти канонические разложения многочленов f и g, то есть для всех i = 0  _i, 0  _i причем одно из них  0. Тогда

1. (f, g) = , где (i = )(_i = min_i, _i.

2. [f, g] = , где (i = )(_i = max_i, _i.

§ 8. Производная многочлена

Теорема 1. Свойства производной.

1°. (сf)¢ = сf ¢, если сÎР.

2°. (f +g)¢ = f ¢+g¢.

3°. (f ×g)¢ = f ¢×g+f ×g¢.

4°. (f₁× f₂× ... f_n)¢ = f₁¢× f₂× ... f_n + f₁× f₂¢× ... f_n + ... + f₁× f₂× ... f_n¢.

5°. (f ⁿ)¢ = n f ^n–1 f ¢.

Теорема 2. Если p – неприводимый делитель кратности k ³ 1 многочлена f, то p является делителем кратности k–1 производной f ¢.

Следствие 1. Неприводимый делитель p многочлена f имеет кратность k ³ 1 тогда и только тогда, когда p делит многочлен f и все его производные, до (k–1)-й, и не является делителем k-й производной.

Следствие 2. Элемент a поля является корнем многочлена кратности k тогда и только тогда, когда a является корнем многочлен f и всех его производных, до

(k–1)-й, и не является корнем k-й производной.

Следствие 3. Неприводимый над полем Р многочлен не имеет кратных корней над любым расширением этого поля.

Схема выделения кратных множителей.

§ 9. Кольцо многочленов над факториальным кольцом

Теорема 1. Группа обратимых элементов кольца A[x] совпадает с группой обратимых элементов кольца А.

Теорема 2. Если кольцо А факториально, то кольцо A[x] также факториально.

Примитивные многочлены. Содержание многочлена.

Лемма 1. Всякий многочлен fÎA[x] представляется в виде f = dj, где dÎA,

j – примитивный многочлен. Такое представление единственное, с точностью до ассоциированности над А.

Лемма 2. Всякий многочлен gÎР[x], где Р – поле частных кольца А, представляется в виде f = j, где m, nÎA, j – примитивный многочлен.

Лемма 3. Всякий простой в A[x] многочлен является примитивным многочленом. Наоборот, всякий примитивный многочлен является либо простым многочленом, либо представляется в виде произведения примитивных многочленов меньшей степени.

Лемма 4. Лемма Гаусса. Произведение примитивных многочленов также является примитивным многочленом.

Лемма 5. Если два примитивных многочлена ассоциированы над полем частных факториального кольца, то они ассоциированы и над самим этим кольцом.

Лемма 6. Если многочлен fÎA[x] приводим над полем частных Р кольца А, то многочлен приводим и над А.