§ 2. Подкольца и подполя

Определение и примеры подколец и подполей.

Теорема 1. Первый критерий подкольца.

Пусть áA; +, ×ñ – кольцо, BÌA. Тогда B является подкольцом кольца A, если и только если одновременно выполняются следующие четыре условия:

1) B ¹ Æ; 2) a₁, a₂ÎB Þ a₁+a₂ ÎB; 3) aÎB Þ –aÎB; 4) a₁, a₂ÎB Þ a₁ a₂ ÎB.

Теорема 2. Второй критерий подкольца.

Пусть áA; +, ×ñ – кольцо, BÌA. Тогда B является подкольцом кольца A, если и только если одновременно выполняются следующие три условия:

1) B ¹ Æ; 2) a₁, a₂ÎB Þ a₁–a₂ ÎB; 3) a₁, a₂ÎB Þ a₁ a₂ ÎB.

Теорема 3. Критерий подполя.

Пусть áA; +, ×ñ – поле, BÌA. Тогда B является подполем поля A, если и только если одновременно выполняются следующие три условия:

1) B^* ¹ Æ; 2) a₁, a₂ÎB Þ a₁–a₂ ÎB; 3) a₁, a₂Î B^* Þ a₁ a₂^–1 Î B^*.

Теорема 4. Особенности числовых подколец и подполей.

1°. Кольцо целых чисел является наименьшим числовым кольцом с единицей.

2°. Поле рациональных чисел является наименьшим числовым полем.

3°. Всякий изоморфизм числовых полей действует тождественно на множестве рациональных чисел.

§ 3. Характеристика кольца с единицей

Понятие характеристики кольца с единицей.

Теорема. Пусть n – ненулевая характеристика кольца А. Тогда

1°. ("a)(na = 0).

2°. Если A – поле, то n – простое число.

§ 4. Упорядоченные кольца и поля

Определение упорядоченного кольца и упорядоченного поля. (ОА), (ОМ). Линейно упорядоченные кольца и поля.

Теорема 1. Свойства упорядоченных колец и полей.

1°. a £ b « b–a ³ 0 « –b £ –a.

2°. a+b £ c « a £ c–b; a–b £ c « a £ c+b.

3°. а) a £ b Ù с £ d ® a+c £ b+d; б) a £ b Ù с < d ® a+c < b+d;

в) a < b Ù с £ d ® a+c < b+d

4°. 0 £ a £ b Ù 0 £ с £ d ® a×c £ b×d.

Теорема 2. Свойства линейно упорядоченных колец и полей.

1°. В линейно упорядоченном кольце

а) a²  0; a  0  a² > 0;

б) –1 < 0 < 1;

в) нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов;

г) если с > 0, то a < b « ac < bc;

д) если с < 0, то a < b « ac > bc;

е) если a > 0, b > 0, то a < b « a² < b².

2°. В линейно упорядоченном поле

а) > 0 « ab > 0 « a > 0 Ù b > 0 Ú a < 0 Ù b < 0;

б) a > 0 « a^–1 > 0;

в) если ab > 0, то a < b « a^–1 > b^–1;

г) если a < b, то a < < b.

Модуль элемента линейно упорядоченного кольца. .

Теорема 3. Простейшие свойства модуля.

1°. 0.

2°. = 0 « a = 0.

3°. = max {a, –a}.

4°. = .

5°. – a .

6°. ² = a²; < « a² < b².

Теорема 4. Освобождение от модуля в равенстве и неравенствах.

1°. = b « b 0 Ù (a = b Ú a = –b).

2°. < b « –b < a < b.

3°. > b « a > b Ú a < –b.

Теорема 5. Связь модуля с операциями.

1°. = .

2°. В поле если b 0, то = .

3°. + .

4°. .

5°. + .