§ 4. Связь между различными базисами конечномерных векторных пространств. Координаты вектора в разных базисах

Матрица перехода от одного базиса к другому М = М_Е(Е¢): Е¢ = Е×М.

Теорема 1. Критерий матрицы перехода.

nn-матрица А служит матрицей перехода от одного базиса n-мерного пространства к другому тогда и только тогда, когда А невырожденная матрица.

Координаты вектора в разных базисах.

Теорема 2. Связь между координатами вектора в разных базисах.

[a]_Е¢ = М_Е^–1(Е¢)×[a]_E.

§ 5. Подпространства векторного пространства

Определение подпространства.

Теорема 1. Критерий подпространства.

Подмножество U векторного пространства V над полем Р является подпространством этого пространства тогда и только тогда, когда одновременно выполняются следующие условия:

1) U ¹ Æ; 2) a₁, a₂ÎU Þ a₁+a₂ÎU; 3) lÎР, aÎU Þ laÎU.

Примеры подпространств.

1. q и V.

2. Множества симметрических, кососимметрических, верхних треугольных матриц в пространстве квадратных матриц.

3. Линейная оболочка системы векторов L(a₁, a₂, ..., a_k).

Теорема 2. Размерность линейной оболочки.

dim L(S) = r(S).

Теорема 3. Всякое подпространство U конечномерного векторного пространства V является линейной оболочкой некоторой конечной системы векторов:

U = L(a₁, a₂, ..., a_k). При этом dim U £ dim V.

Пересечение и сумма подпространств.

Теорема 4. Тождество Грассмана.

Для любых конечномерных подпространств U₁ и U₂ произвольного векторного пространства выполняется равенство

dim(U₁+U₂) = dim U₁ + dim U₂ – dim (U₁ÇU₂).

План доказательства

Дополнить базис A подпространства U₁ÇU₂ до базисов (A, B) и (A, C) подпространств U₁ и U₂ соответственно и проверить, что система векторов (A, B, C) составляет базис U₁+U₂.

§ 6. Прямая сумма подпространств

Определение и примеры прямой суммы и не прямой суммы подпространств.

Теорема 1. Следующие условия равносильны.

1. Сумма U₁+U₂ подпространств U₁ и U₂ является прямой суммой.

2. Существует вектор а подпространства U₁+U₂, который единственным образом представляется в виде а = а₁+а₂, где а₁ÎU₁, а₂ÎU₂.

3. U₁ÇU₂ = q.

4. dim(U₁+U₂) = dim U₁ + dim U₂.

План доказательства: 1 Þ 2 Þ 3 Þ 1. 3  4.

Теорема 2. Если U произвольное подпространство конечномерного векторного пространства V, то V можно представить в виде прямой суммы подпространства U и некоторого другого подпространства W.

§ 7. Линейные многообразия

Примеры линейных многообразий.

1. Прямые в R² и R³.

2. Плоскости в R³.

3. Множество решений совместной системы линейных уравнений.

Теорема 1. Если U подпространство пространства V, то U+a = U+b тогда и только тогда, когда a–bÎU.

*® Теорема 2. Если К₁ = U₁+a₁, К₂ = U₂+a₂, то К₁ Ì К₂ тогда и только тогда, когда U₁ Ì U₂ и a₁–a₂ÎU₂.¬*