Глава 7. Линейные отображения и линейные операторы

§ 1. Линейные отображения. Матрица линейного отображения

Определение, примеры, простейшие свойства (свойства 1°–4° изоморфизма векторных пространств в Т. 5.3.4.) линейных отображений.

Теорема 1. Структурная теорема.

Пусть V₁ и V₂ – векторные пространства над одним полем, dim V₁ = n,

a₁, a₁, ..., a_n – базис пространства V₁, b₁, b₁, ..., b_n – произвольная система векторов из пространства V₂. Тогда существует, и только одно, линейное отображение

j: V₁ ® V₂, обладающее свойством j(a_k) = b_k, k = .

Матрица линейного отображения A = M_j(E₁, E₂): j(E₁) = E₂×A.

Координаты образа вектора.

Теорема 2. Связь координат вектора и его образа.

[j(a)] = M_j(E₁, E₂) [a] .

Теорема 3. Если V₁ и V₂ – конечномерные векторные пространства над одним и тем же полем, размерности которых равны n и m соответственно, E₁ и E₂ – их базисы, то отображение

F: j M_j(E₁, E₂) является биекцией множества всех линейных отображений пространства V₁ в пространство V₂ на множество всех m´n-матриц над тем же полем.

§ 2. Операции над линейными отображениями

Сумма и произведение (композиция) линейных отображений. Произведение линейного отображения на элемент поля.

Теорема 1. Свойства операций над линейными отображениями.

1°. Сумма и произведение линейных отображений, а также произведение линейного отображения на скаляр, являются линейными отображениями.

2°. Множество всех линейных отображений векторного пространства V₁ в векторное пространство V₂ является векторным пространством над тем же полем относительно операций сложения линейных отображений и умножения на скаляр.

3°. Множество всех линейных преобразований (линейных функционалов) векторного пространства в себя является кольцом относительно операций сложения и умножения.

Теорема 2. Связь линейных отображений и их матриц.

Если V₁, V₂ и V₃ – конечномерные векторные пространства над одним и тем же полем, E₁, E₂ и E₃ – их базисы, соответственно, то:

а) j: V₁ ® V₂ – изоморфизм Û M_j(E₁, E₂) – невырожденная;

б) M_lj(E₁, E₂) = l×M_j(E₁, E₂);

в) M_j+y(E₁, E₂) = M_j(E₁, E₂)+M_y(E₁, E₂);

г) M_{j y}(E₁, E₂) = M_j(E₁, E₂)×M_y(E₂, E₃).

§ 3. Ранг, дефект, ядро и образ линейного отображения

Ядро и образ линейного отображения j. Ker j. Im j. Ранг и дефект линейного отображения. r(j). d(j).

Теорема 1. Ядро и образ линейного отображения j: V₁ ® V₂ являются подпространствами векторных пространств V₁ и V₂, соответственно.

Теорема 2. Ранг линейного отображения конечномерного векторного пространства равен рангу матрицы линейного отображения.

Теорема 3. Если j: V₁ ® V₂ – линейное отображение конечномерного векторного пространства, то сумма ранга и дефекта этого отображения равна размерности пространства V₁: dim V₁ = r(j)+d(j).