§ 1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Запись системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Определённые и неопределённые системы линейных уравнений. Следствия системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Совместность однородной системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений.

Теорема 1. Свойства элементарных преобразований.

1°. Элементарные преобразования обратимы, причём обратные им преобразования являются преобразованиями того же вида.

2°. Элементарное преобразование третьего вида может быть получено цепочкой преобразований двух первых видов.

3°. Всякая система линейных уравнений, получающаяся из исходной системы линейных уравнений с помощью цепочки элементарных преобразований, равносильна исходной.

Ступенчатые системы линейных уравнений. Треугольные и трапециевидные ступенчатые системы. Противоречивые уравнения. Вид противоречивых уравнений.

Теорема 2. Теорема Гаусса.

Всякая система линейных уравнений может быть приведена к ступенчатому виду или к системе, содержащей противоречивое уравнение с помощью элементарных преобразований и, возможно, перенумерации переменных. В первом случае система совместна и определённа или неопределённа, в зависимости от того, выполняется ли равенство r = n или неравенство r < n, где r – число уравнений ступенчатой системы, n – число переменных. Во втором случае система несовместна.

Главные и свободные неизвестные. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Обозначения при преобразованиях.

Теорема 3. Однородная система линейных уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, имеет ненулевые решения.

§ 2. Арифметическое n-мерное векторное пространство Pn

Векторы. Скаляры. Сумма двух векторов. Произведение вектора на число.

Теорема 1. Простейшие свойства операций над векторами.

1°. ("a)("b)(a+b = b+a).

2°. ("a)("b)("c)(a+(b+c) = (a+b)+c).

3°. ($q)("a)(a+q = a).

4°. ("a)($ )(a+ = q).

5°. ("a)("b)("a)(a(ba) = (ab)a).

6°. ("a)("b)("a)((a+b)a = aa+ba).

7°. ("a)("a)("b)(a(a+b)) = aa+ab).

8°. ("a)(1×a = a).

Разность векторов.

Теорема 2. Дальнейшие свойства векторов.

1°. Нуль единственный.

2°. Для каждого вектора противоположный ему единственный.

3°. ("a)(–(–a) = a).

4°. ("a)("b)(–(a+b) = (–a)+(–b)).

5°. Уравнение a + x = b разрешимо при всех a и b, причём единственным образом.

6°. ("a)("b)(a–b = a+(–b)).

7°. ("a)(0×a = q).

8°. ("a)(a×q = q).

9°. ("a)("a)(aa = q ® a = 0Úa = q).

10°. ("a)("a)((–a)a = a(–a) = –aa).

11°. ("a)("a)("b)(a(a–b)) = aa–ab).

12°. ("a)("b)("a)((a–b)a = aa–ba).

§ 3. Линейная зависимость и линейная независимость систем векторов

Два определения линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

Теорема 1. О равносильности определений линейной зависимости.

Два определения линейной зависимости системы векторов равносильны.

Теорема 2. Свойства линейной зависимости и линейной независимости.

1°. Система, содержащая нуль-вектор или равные векторы, или коллинеарные векторы, линейно зависимая.

2°. Если часть системы векторов линейно зависимая, то и вся система линейно зависимая.

3°. Если система векторов S линейно независимая, но при добавлении к ней вектора b cтановится линейно зависимой, то вектор b является линейной комбинацией векторов системы S.

4°. Ступенчатая система векторов линейно независимая.

5°. В Pⁿ существует линейно независимая система, состоящая из n векторов, через которую линейно выражается любой вектор из Pⁿ (система единичных векторов).

Теорема 3. Если даны две системы векторов, содержащие соответственно r и s векторов, причём r < s, и векторы второй системы являются линейными комбинациями векторов первой системы, то вторая система линейно зависимая (Если бóльшая система выражается через меньшую, то она линейно зависимая).

Теорема 4. В Pⁿ любая система векторов, содержащая более чем n векторов, линейно зависимая.