- •Алгебра и теория чисел, Избранные вопросы алгебры
- •Пояснительная записка
- •Содержание учебной дисциплины
- •Тематический план курса «Алгебра и теория чисел»
- •Тематический план курса «Избранные вопросы алгебры»
- •Перечень практических занятий
- •1 Семестр
- •2 Семестр
- •3 Семестр
- •4 Семестр
- •Тематика контрольных работ
- •Критерии оценок знаний
- •Перечень основных знаний, умений и навыков
- •Рекомендации по организации самостоятельной работы студентов
- •Рекомендуемая литература Основная литература
- •Дополнительная литература
- •Глава 1. Элементы теории множеств, математической логики, числовых систем
- •§ 1. Множества, элементы, подмножества
- •§ 2. Операции над множествами
- •§ 3. Декартово (прямое) произведение множеств. Бинарные отношения
- •§ 4. Отношения эквивалентности. Отношения порядка
- •§ 5. Функции
- •§ 6. Высказывания и предикаты. Логические операции. Формулы
- •§ 7. Отношения следования и равносильности
- •§ 8. Определение системы действительных чисел
- •§ 9. Система натуральных чисел. Принцип математической индукции
- •§ 10. Системы целых и рациональных чисел
- •Глава 2. Основные алгебраические структуры
- •§ 1. Алгебраические операции. Алгебры. Алгебраические системы. Группы
- •§ 2. Подгруппы
- •§ 3. Кольца и поля
- •§ 4. Подкольца и подполя
- •Глава 3. Системы линейных уравнений. Арифметическое n-мерное векторное пространство
- •§ 1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •§ 2. Арифметическое n-мерное векторное пространство Pn
- •§ 3. Линейная зависимость и линейная независимость систем векторов
- •§ 4. Базис и ранг системы векторов
- •§ 5. Ранг матрицы
- •§ 6. Исследование системы линейных уравнений
- •§ 7. Однородные системы линейных уравнений
- •Глава 4. Матрицы и определители
- •§ 1. Операции над матрицами
- •§ 2. Обратная матрица. Условие обратимости матрицы
- •§ 3. Перестановки и подстановки
- •§ 4. Определение определителя
- •§ 5. Свойства определителя
- •§ 6. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу
- •§ 7. Формула для обратной матрицы. Теорема Крамера
- •§ 4. Связь между различными базисами конечномерных векторных пространств. Координаты вектора в разных базисах
- •§ 5. Подпространства векторного пространства
- •§ 6. Прямая сумма подпространств
- •§ 7. Линейные многообразия
- •Глава 6. Евклидовы пространства
- •§ 1. Скалярное произведение. Определение, примеры, простейшие свойства евклидовых пространств. Длина вектора. Угол между векторами
- •§ 2. Ортогональность. Ортонормированная система векторов. Изоморфизм евклидовых пространств
- •§ 3. Ортогональное дополнение к подпространству. Ортогональная проекция вектора на подпространство. Процесс ортогонализации системы векторов
- •Глава 7. Линейные отображения и линейные операторы
- •§ 1. Линейные отображения. Матрица линейного отображения
- •§ 2. Операции над линейными отображениями
- •§ 3. Ранг, дефект, ядро и образ линейного отображения
- •§ 4. Линейные операторы
- •§ 5. Линейные алгебры
- •§ 6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
- •Глава 8. Теория делимости целых чисел
- •§ 1. Отношение делимости. Деление с остатком
- •§ 2. Нод чисел. Алгоритм Евклида
- •§ 3. Взаимно простые числа
- •§ 4. Нок чисел
- •§ 5. Простые числа. Основная теорема арифметики
- •Глава 9. Теория сравнений целых чисел
- •§ 1. Числовые сравнения
- •§ 2. Функция Эйлера.
- •§ 3. Полная и приведенная системы вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма
- •§ 4. Решение сравнений с переменной
- •§ 5. Решение сравнений первой степени
- •§ 3. Геометрическое изображение комплексных чисел
- •§ 4. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •§ 5. Комплексно сопряжённые числа
- •§ 6. Корни из комплексных чисел
- •Глава 11. Кольцо многочленов от одной переменной
- •§ 1. Определение многочлена
- •§ 2. Многочленные функции
- •§ 3. Деление многочлена на двучлен х--a. Схема Горнера
- •§ 4. Корни многочлена. Число корней многочлена. Интерполяционные многочлены. Функциональное и алгебраическое равенство многочленов
- •§ 5. Кратные корни многочлена
- •§ 6. Кольцо многочленов над полем
- •§ 7. Неприводимые многочлены. Факториальность кольца многочленов над полем
- •§ 8. Производная многочлена
- •§ 9. Кольцо многочленов над факториальным кольцом
- •Глава 12. Кольцо многочленов от нескольких переменных
- •§ 1. Кольцо многочленов от n переменных
- •§ 2. Лексикографическое (алфавитное) упорядочение многочлена от n переменных
- •§ 3. Симметрические многочлены
- •Глава 13. Многочлены над основными числовыми полями
- •§ 1. Кольцо многочленов над полем комплексных чисел
- •§ 2. Кольцо многочленов над полем действительных чисел
- •§ 3. Многочлены над полем рациональных чисел
- •Глава 14. Расширения числовых полей. Алгебраические числа
- •§ 1. Простое расширение р(a) поля р
- •§ 2. Последовательное (цепное) расширение поля. Расширение поля конечной совокупностью элементов
- •§ 3. Конечное расширение поля
- •§ 4. Алгебраические над полем р элементы
- •§ 5. Простота конечных расширений
- •Глава 15. Группы
- •§ 1. Теорема о факторизации
- •§ 2. Алгебраические операции. Алгебры. Алгебраические системы. Изоморфизмы. Гомоморфизмы
- •§ 3. Определения, примеры, простейшие свойства групп
- •§ 4. Целые степени элемента группы. Порядок элемента группы. Циклические группы
- •§ 5. Подгруппы
- •§ 6. Теорема Кэли
- •§ 7. Разбиение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа
- •§ 8. Нормальные подгруппы. Фактор-группы. Естественный эпиморфизм
- •§ 9. Гомоморфизмы и эпиморфизмы групп. Теорема об эпиморфизмах
- •Глава 16. Кольца и поля
- •§ 1. Кольца и поля
- •§ 2. Подкольца и подполя
- •§ 3. Характеристика кольца с единицей
- •§ 4. Упорядоченные кольца и поля
- •§ 5. Свойства порядка натуральных, целых и рациональных чисел
- •§ 5. Идеалы коммутативных колец
- •§ 6. Сравнение по идеалу. Фактор-кольца
- •§ 6. Гомоморфизмы и эпиморфизмы колец. Теорема об эпиморфизмах
- •Глава 17. Элементы теории делимости в целостных кольцах
- •§ 1. Отношение делимости в целостных кольцах.
- •§ 2. Разложение на простые множители в кольцах
- •§ 3. Кольца главных идеалов
- •§ 4. Евклидовы кольца
- •Глава 4. Поле частных целостного кольца
- •§ 1. Определение и строение поля частных целостного кольца
- •§ 2. Существование поля частных целостного кольца
- •1. Использование теоремы о числе корней ненулевого многочлена
- •2. Доказательство неравенств
- •3. Дискретность порядка на множестве натуральных и целых чисел
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина»
Утверждено на заседании
кафедры алгебры, геометрии и МОМ
протокол № 7 от 18 мая 2006 г.
Зав. кафедрой,
канд. физ.-мат. наук, доц.
Н.И. Крючков
Алгебра и теория чисел, Избранные вопросы алгебры
Программа курсов
Для специальности 351500 – Математическое обеспечение и администрирование информационных систем.
Факультет физико-математический.
Курс «Алгебра и теория чисел»:
курсы 1, 2, семестры 1, 2, 3.
Всего часов (включая самостоятельную работу) – 358.
Курс «Избранные вопросы алгебры»:
курс 2, семестр 4.
Всего часов (включая самостоятельную работу) – 144.
Составитель С.А. Моисеев, канд. пед. наук, доцент
Печатается по решению редакционно-издательского совета Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина» в соответствии с планом издания на 2006 год.
Рецензент Н.И. Крючков, канд. физ.-мат. наук, доц.
Научный редактор Г.В. Денисова, канд. пед. наук, доц.
Алгебра и теория чисел, Избранные вопросы алгебры: Программы курсов / Сост. С.А. Моисеев; Ряз. гос. ун-т им. С.А. Есенина. – Рязань, 2006. – 81 с.
Программа предназначена для студентов физико-математического факультета. Она включает в себя пояснительную записку, тематический план, рекомендации к практическим занятиям и организации самостоятельной работы, список учебной литературы, а также план-конспект, содержащий формулировки всех основных утверждений курса. Всё это поможет студентам усвоить курс на более высоком уровне.
Ключевые слова: действительные, комплексные, рациональные, целые, натуральные числа, операции, группы, кольца, поля, изоморфизм, гомоморфизм, векторы, линейная зависимость, матрицы, определители, подстановки, многочлены, корни многочленов, делимость, сравнения, упорядоченные кольца, упорядоченные поля.
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Рязанский государственный университет
имени С.А. Есенина», 2006
Пояснительная записка
Данные курсы посвящены изучению основных числовых и алгебраических структур. Изложение идет от рассмотрения более простых понятий к более трудным и абстрактным. Оба этих курса составляют неразрывное единое целое: материал первого курса доставляет примеры, иллюстрирующие более абстрактный материал второго курса, со своей стороны, материал второго курса позволяет унифицировать изучаемые понятия первого курса, посмотреть на них с единой точки зрения (например, параллелизм в свойствах делимости целых чисел и многочленов отражает то обстоятельство, что оба эти кольца являются евклидовыми кольцами).
Первый семестр начинается с изложения элементов теории множеств, математической логики и сведений о важнейших числовых множествах. Далее рассматриваются основные алгебраические структуры, системы линейных уравнений, арифметические векторы, матрицы и определители.
Во втором семестре рассматриваются элементы теории векторных пространств, пространств с метрикой и линейные отображения векторных пространств.
Третий семестр посвящён изучению чисел и многочленов: вначале изучается теория делимости целых чисел, затем – она же, только на языке теории сравнений, далее изучаются комплексные числа. Далее подробно изучается кольцо многочленов от одной переменной, в том числе и над важнейшими числовыми полями, более бегло – кольцо многочленов от нескольких переменных, прежде всего, его подкольцо симметрических многочленов. Завершает курс раздел, в котором рассматриваются элементы теории расширения полей.
В четвёртом семестре изучение алгебраического материала продолжается в рамках курса «Избранные вопросы алгебры». Он посвящён более подробному изучению важнейших алгебраических структур: групп, колец и полей. Рассматриваются подалгебры и морфизмы этих структур, а также взаимосвязь основных операций с некоторыми отношениями на этих алгебрах: отношением порядка и отношением делимости.
Тематическое планирование является примерным. Преподаватель имеет право изменять последовательность прохождения отдельных разделов, соотношение количества часов на лекции и практические занятия.
Настоящая программа разработана в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта к подготовке специалистов по специальности 351500 «математическое обеспечение и администрирование информационных систем».