§ 4. Линейные операторы

Теорема 1. Всякий инъективный линейный оператор конечномерного векторного пространства сюръективен и наоборот.

Подобие матриц.

Теорема 2. Две квадратные матрицы подобны тогда и только тогда, когда они являются матрицами одного и того же линейного оператора, но в разных базисах.

§ 5. Линейные алгебры

Определение линейной алгебры.

Важнейшие примеры.

1. . 2. End V. 3. R[x]. 4. F_R.

Изоморфизм линейных алгебр. Стандартные свойства изоморфизма линейных алгебр (см. теоремы 5.3.3 и 5.3.4).

Теорема. Алгебра всех линейных операторов n-мерного векторного пространства над полем Р изоморфна алгебре n´n-матриц над этим же полем.

§ 6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Инвариантные подпространства линейного оператора. Примеры. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Геометрическая интерпретация.

Корневое (собственное) подпространство К(l).

Теорема 1. Свойства собственных векторов.

1°. К(l) является подпространством векторного пространства.

2°. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, ЛНЗ.

3°. Для любого линейного оператора конечномерного векторного пространства сумма размерностей всех его корневых подпространств не превышает размерности всего пространства.

4°. Линейный оператор имеет диагональную матрицу в некотором базисе тогда и только тогда, когда этот базис состоит из собственных векторов линейного оператора.

Характеристический многочлен матрицы. Характеристический многочлен линейного оператора.

Теорема 2. Корректность определения характеристического многочлена линейного оператора.

1°. Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены.

2°. Определения характеристического многочлена линейного оператора корректно.

Теорема 3. Правила отыскания собственных векторов и собственных значений линейного оператора.

1°. Множество собственных значений линейного оператора совпадает с множеством корней характеристического многочлена.

2°. Собственное подпространство К(l) совпадает с множеством решений однородной системы линейных уравнений (A–lE)×X = q.

Глава 8. Теория делимости целых чисел

§ 1. Отношение делимости. Деление с остатком

Определение делимости целых чисел. a b, ba.

Теорема 1. Свойства делимости.

Для любых целых чисел имеют место следующие соотношения

1. a a.

2. a 1.

3. a b  a b.

4. 0 a;

5. a bb c  a c.

6. a bb c  ua+vb c.

7. a  0a b   .

8 a  0b  0a bb a  a = b.

Определение деления с остатком.

Теорема 2. О делении с остатком.

Любое целое число a можно разделить с остатком на любое целое число b  0. Это деление осуществляется единственным образом.

Определение систематического представления натурального числа.

Теорема 3. Любое целое неотрицательное число a может быть представлено, причем единственным образом, в виде

a = a_ngⁿ+a_n–1g^n–1+ ... +a₁g+a₀,

где gN, g1, 0  a_k  g–1 при всех 0  k  n.

Запись:

Таблицы сложения и умножения в g-ичной системе счисления.

Перевод из одной системы счисления в другую: правила деления и умножения.