Глава 13. Многочлены над основными числовыми полями

§ 1. Кольцо многочленов над полем комплексных чисел

Теорема. Основная Теорема Алгебры.

Всякий многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.

Следствие 1. Число корней многочлена с комплексными коэффициентами равна степени этого многочлена, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Следствие 2. Над полем комплексных чисел неприводимы только многочлены первой степени. Каноническое разложение многочлена над С имеет вид

a_n(x–a₁) (x–a₂) ... (x–a_s) .

Следствие 3. Над С f g Û все корни g являются корнями f, при этом их кратности для g не превосходят кратностей для f .

§ 2. Кольцо многочленов над полем действительных чисел

Теорема 1. Если комплексное число a является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то комплексно сопряжённое число также является корнем этого многочлена. При этом кратности a и совпадают.

Теорема 2. Над полем действительных чисел неприводимы только многочлены первой степени и многочлены второй степени с отрицательным дискриминантом. Каноническое разложение многочлена над R имеет вид

a_n(x–a₁) (x–a₂) ... (x–a_s) (x²+p₁x+q₁) )(x²+p₂x+q₂) ... (x²+p_tx+q_t) ,

где p для i = .

§ 3. Многочлены над полем рациональных чисел

Сведение вопросов отыскания рациональных корней и разложения на множители многочленов над Q к многочленам над Z.

Теорема 1. Если f(x) = a_nxⁿ+a_n–1x ^n–1+ ... +a₁x+a₀ÎZ[x] и рациональное число a = , где p и q – взаимно простые числа, является корнем f , то a₀ p, a_n q.

Теорема 2. Если f(x) ÎZ[x] и рациональное число a = , где p и q – взаимно простые числа, является корнем f , то ("mÎZ)( ).

Теорема 3. Критерий неприводимости Эйзенштейна.

Если f(x) = a_nxⁿ+a_n–1x ^n–1+ ... +a₁x+a₀ÎZ[x] и существует такое простое число p, что a_n не делится на p, все остальные коэффициенты делятся на p и a₀ не делится на p², то многочлен f неприводим над Z, а, следовательно, и над Q.

Глава 14. Расширения числовых полей. Алгебраические числа

§ 1. Простое расширение р(a) поля р

Теорема 1. Строение Р(a).

Всякий элемент простого расширения поля Р с помощью элемента a представляется в виде отношения значений от a многочленных функций над Р:

Р(a) = {b: ($ )($ )(b = Ù Ù )}.

Алгебраические и трансцендентные над полем Р элементы.

Теорема 2. Строение простого трансцендентного расширения.

Если a – трансцендентный над полем Р элемент, то каждый элемент из Р(a) единственным образом представляется в виде b = , где f и g – взаимно простые многочлены и g – нормированный многочлен.

Примитивный многочлен алгебраического элемента.

Теорема 3. Строение простого алгебраического расширения.

Пусть a – алгебраический над полем Р элемент. Тогда

1°. Минимальный многочлен j элемента a неприводим над Р.

2°. Если deg j = n, то всякий элемент bÎР(a) представляется в виде

b = , где f ÎР[x] и deg f < n.

3°. Представление 2° единственно.

Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.