1. . Основні теореми диференціального числення. Теорема Лагранжа. Умови сталості та монотонності функції.

Функція f (х) називається диференційовною в інтервалі , якщо вона диференційовна в кожній точці цього інтервалу.

Теорема 1 (Ролля). Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [а; ], диференційовна в інтервалі , причому , то існує принаймні одна точка така, що .

Доведення.

Нехай виконано умови теореми. Функція f (х), неперервна на відрізку [а; ], за другою теоремою Вейєрштрасса існують дві точки і такі, що

для будь-якого . Тут можливі два випадки: 1) т = М, 2) т < М.

У першому випадку маємо: f(x) = const для , тому для будь-якого . У цьому випадку за точку можна взяти будь-яку точку інтервалу . У другому випадку, внаслідок умови , принаймні одна з точок х* або х** належить інтервалу . Нехай, наприклад, . Покажемо, що f (х^*) = 0. Дійсно, для досить малих точка належатиме інтервалу , причому (1)

Якщо >0, то з (1) маємо: отже, (2)

Якщо ж < 0, то з (1) дістанемо: отже, (3)

З нерівностей (2) і (3) робимо висновок, що . У цьому випадку за точкою можна взяти точку х^*. Коли б , то аналогічно переконалися б у тому, що f (x^**) = 0. Теорему доведено.

Якщо функція задовольняє умову теореми Ролля, то серед усіх дотичних до кривої у = існує принаймні одна, паралельна осі Ох.

Наслідок. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку і диференційовна в інтервалі , то між кожними двома нулями функції f (х) міститься принаймні один нуль її похідної .

Теорема 2 (Лагранжа). Якщо функція f (х) неперервна на відрізку і диференційовна в інтервалі , то існує принаймні одна точка , така, що

(6)

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію

Ця функція задовольняє всі умови теореми Ролля: вона неперервна на відрізку , вона диференційовна в інтервалі , причому

(7)

На кінцях відрізка функція має однакові значення:

За теоремою Ролля існує принаймні одна така точка , в якій . Звідси і з (7) переконуємось у правильності рівності (6).

Якщо функція f(x) задовольняє умови теореми Лагранжа, то серед усіх дотичних до кривої y = f(x) знайдеться принаймні одна, яка паралельна хорді [АВ], що з'єднує точки A (a; f (а)) і В (b; f(b))

Теорема 3 (Коші). Якщо функції f (х) і неперервні на відрізку і диференційовані в інтервалі , причому в усіх точках , то існує принаймні одна точка така, що

(9)

Доведення. Насамперед зауважимо, що при умовах, накладених у теоремі на функцію , значення цієї функції в точках а і b різні. Справді, за теоремою Лагранжа, умови якої тут виконані, маємо:

Оскільки , то . Розглянемо допоміжну функцію

Ця функція задовольняє всі умови теореми Ролля. Вона неперерв­на на відрізку , диференційовна в інтервалі , причому для

(10)

На кінцях відрізка функція має однакові значення:

За теоремою Ролля є принаймні одна така точка , в якій . Звідси і з (10) маємо

=>

Умови сталості та монотонності функції.

Теорема 1. Нехай функція f(x) неперервна в проміжку <а; b> і диференційовна в інтервалі . Для того щоб функція була постійною в проміжку <а; b>, необхідно й достатньо, щоб для всіх .

Доведення. Необхідність.

Якщо функція f(x) постійна в проміжку <а; b>, то для всіх .

Достатність. Нехай для всіх . Візьмемо яку-небудь фіксовану точку . Тоді за теоремою Лагранжа в довільній точці <а; b> маємо: оскільки . Функція f(x) постійна в проміжку <а; b>.

Теорема 2. Нехай функція f (x) неперервна в проміжку <а; b> і диференційовна в інтервалі . Для того щоб функція f (х) не спадала (не зростала) в проміжку <а; b>, необхідно й достатньо, щоб для всіх .

Доведення. Необхідність.

Нехай функція f(х) не спадає в проміжку <а; b> і нехай точка . Тоді при маємо: , тоді

Достатність.

Припустимо тепер, що > 0 для всіх . Нехай – довільні точки проміжку <а; b>, . За теоремою Лагранжа, умови якої на відрізку [х₁; х₂] виконані, дістанемо , де , тобто . Функція f (x) в проміжку <а; b> не спадає. Аналогічно доводиться теорема для випадку, коли f (х) не зростає на <а; b>.

Теорема 3. Нехай функція f (х) неперервна в проміжку <а; b>, диференційовна в інтервалі . Для того щоб функція f (x) була зростаючою (спадаючою) в проміжку <а; b>, необхідно й достатньо, щоб > 0 ( < 0) для всіх , причому ті точки , в яких = 0, не складали б ніякого відрізка.

Доведення. Необхідність.

Нехай f(x) зростає на <а; b>. Тоді вона не спадає на <а; b>. За теоремою 2 > 0 для всіх .

Покажемо, що ті точки , в яких = 0, не складають ніякого відрізка. Припустимо, що ці точки склали відрізок [а; ] , тобто = 0 для . Тоді за теоремою 1 функція f (х) постійна на відрізку , що суперечить умові теореми.

Достатність

Нехай > 0 для всіх , причому точки , в яких = 0, не складають ніякого відрізка [а; ) . За теоремою 2 функція f(x) не спадає в проміжку <а; b>. Покажемо, що вона зростає в цьому проміжку. Припустимо, що вона не зростатиме в проміжку <а; b>. Тоді існуватимуть дві точки <а; b> <а; b> такі, що , ( не може бути більше , оскільки функ­ція f (х) не спадає на <а; b>. Звідси, внаслідок того, що не спадає на <а; b>, випливає рівність для всіх .

Проте тоді f (х) = 0 для всіх , що суперечить одній з умов теореми.

Аналогічно доводиться теорема для випадку, коли f (х) спадає на <а; b>. Теорему доведено.

Наслідок. Якщо > 0 ( < 0) для всіх , то в інтер­валі функція f (х) зростає (спадає).