3. Похідна складної функції.

Теорема 4. Якщо функція диференційовна в точці х, а функція f (и) диференційовна в точці и = , то складна функція диференційовна в точці х, причому

. (9)

Теорема 5. Нехай функція у = f (х) строго монотонна в проміжку < а; > і неперервна в цьому проміжку. Якщо в точці існує , то обернена функція в точці у = f (x) має похідну, причому

(13)

Теорема. Правильні такі рівності:

Білет 4

1. Диференційовані функції однієї змінної, критерій диференційованості. Диференціал в точці, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.

Означення диференціалу.

Функція f (х) називається диференційовною в точці х₀, якщо вона в цій точці має скінченну похідну.

Функцію f (х), означену в околі точки х, назвемо диференційовною в точці х, якщо приріст цієї функції в цій точці можна зобразити у вигляді:

(1)

де і число А не залежить від .

Якщо функція f (х) диференційовна в точці х, то ця функція в точці х має похідну . Позначивши через

дістанемо

(2)

де , тобто функція f (х) диференційовна в точці х в новому

змісті. Нехай функція f (х) диференційовна в точці х в новому змісті. Тоді приріст цієї функції в точці х можна зобразити у вигляді (1), де А не залежить від і . Поділивши на праву і ліву частини рівності (1), дістанемо звідки

тобто в точці х функція f (х) має похідну , причому = А і, отже, ця функція в точці х диференційовна в попередньому змісті.

Таким чином, якщо функція диференційовна в точці х, то її приріст у цій точці можна зобразити у вигляді (2), де . Цей приріст складається з двох доданків і .

Лінійна відносно частина приросту диференційовної функції в точці х називається диференціалом цієї функції в цій точці і позначається

. (3)

Диференціалом незалежної змінної х називають приріст цієї незалежної змінної і позначають (4)

Геометричний зміст диференціала. Нехай функція диференційовна в точці х. Тоді в точці (х; f (х)) графік функції матиме дотичну (рис. 38), похилену до додатного напряму осі Ох під кутом . З рис. 38 видно, що АВ = MA тобто диференціал функції в точці х дорівнює приросту ординати дотичної до кривої у = f (х) в точці х, коли незалежна змінна дістає приріст . З рисунка видно також, що АМ₁ = .

3. Інваріантність форми диференціала. Якщо х – незалежна змін­на, а f (х) –диференційовна функція від х, то df (х) = (х) dx.

Припустимо тепер, що – диференційовна функція від t. Тоді складна функція матиме похідну, яка дорівнює . Диференціал цієї, складної функції запишемо у вигляді

.

Отже, буде х незалежною змінною чи деякою диференційовною функцією від t, кожного разу диференціал функції обчислюється за формулою

df(x)=f'(x)dx, (7)

тобто форма диференціала залишається незмінною, постій­ною, інваріантною. Слід зауважити, що постійна (незмінна) тільки форма диференціала. Зміст же його у цих двох розгляну­тих випадках різний. Якщо х – незалежна змінна, то в рівності (7) dx = . Якщо ж х — функція від t, то в тій же рівності (7) dx = і, отже, взагалі кажучи, .

Основні формули і правила диференціювання.

dc = 0,

З основних правил знаходження похідних виходять основні правила знаходження диференціалів.

d (си) = cdu, d (и · V) = udV + Vdu,

d(u ± V)=du ± dV, .

Для прикладу доведемо рівність 3):

d (иV) = (иV)' dx = (u'V + uV') dx = V (u'dx) + и (V'dx) = Vdu + udV.

Наближені обчислення за допомогою диференціалів. Якщо функція f (х) в точці х має відмінну від нуля похідну , то приріст цієї функції в точці х і її диференціал є еквівалентними нескінченно малими функціями в околі точки х. Справді, з рівності (2) маємо

звідси .

Таким чином, при досить малому Дх можна записати наближену рівність

або (8)

Наприклад, взявши функцію , дістанемо (9)

При це дає (10)

Користуючись формулою (10), знайдемо і :

Формула (8) для функції має вигляд: (11)

а для функції – вигляд: (12)