1. Площини та прямі в просторі.

Нехай пряма (l)

;(33)

перетинає площину α

Ax+By+Cz+D=0.;(34 Знайдемо координати точки перетину. Для цього підставимо х, y, z із (33) в (34). Отримаємо: Отже, координати точки перетину прямої (l) з площиною α:

Щоб пряма (l) лежала в площині α, необхідно і досить, щоб координати двох точок прямої задовольняли рівнянню площини. Але разом з тим, щоб пряма (l) лежала в площині α, необхідно і досить, щоб вона мала з нею спільну точку і була їй паралельна. Цією умовою ми будемо користуватись.

Нехай пряма (l) задана канонічним рівнянням

а площина α загальним рівнянням Ax+By+Cz+D=0.

Крім того, l α, а отже, Al+Bm+Cn=0.

Таким чином, сукупність умов

;(35)

є необхідна і достатня умова того, що пряма (l) лежить в площині α.

Рівняння A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0, при умові, що Al+Bm+Cn=0, визначає площину, яка проходить через пряму

Кут θ між прямою та площиною в просторі вимірюється кутом між прямою і її проекцією на площину (рис. 7).

Нехай задано деяку площину α:

(36)

Оскільки sinθ>0, то знак потрібно вибирати так, щоб права частина була додатна.

Наслідок 1. Якщо θ=0, а отже (l) α. Тоді

Al+Bm+Cn=0. (37)

(Умова паралельності прямої і площини).

Наслідок 2. Якщо то і, отже,

(38)

(Умова перпендикулярності прямої і площини).

Пряма, як лінія перетину двох площин

Пряму в просторі можна задати рівняннями двох площин, які перетинаються. Нехай перша площина задається рівнянням A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, а друга – A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

При цьому, раз площини перетинаються то нормальні вектори площин і неколінеарні.

Рівняння:

(40)

Рівняння (40) є канонічною формою рівняння прямої, заданої, як лінія перетину двох площин.

2. Теорема множення ймовірностей. Незалежність подій.

Нехай – простір елементарних подій, А і В деякі випадкові події. Якщо ймовірність події А обчислюється при умові, що відбулась подія В, то така ймовірність називається умовною ймовірністю і позначається . Ймовірність Р(А) називається безумовною. Для знаходження ймовірності події А при умові, що відбулася подія В, можливими результатами випробування треба вважати ті, при яких настає В, сприятливими для А тепер будуть ті, при яких настають обидві події А і В Тому, згідно з класичним означенням ймовірності . (1)

Формулу (1) можна переписати так: . (2)

Зрозуміло, що формула (2) має місце при умові, що .

В загальному випадку аксіоматичного означення ймовірності виведена формула (2) є основою для означення умовної ймовірності.

Озн. 1. Нехай А і В деякі події, причому . Умовною ймовірністю події А при умові, що відбулась подія В, називають число . (3)

Якщо Р(В)=0, то умовна ймовірність не визначена. В цьому випадку її вважають рівною нулю.

Цілком аналогічно визначається умовна ймовірність , .

З формул для обчислення умовної ймовірності випливає Т.про множення ймовірностей (для двох подій):

Т.1. Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої, при умові, що відбулась перша подія. Аналогічна Т.справедлива і для довільного числа подій. (4)

Т.2. Якщо довільні події, то . (5)

Дов. можна провести методом математичної індукції по п. При п=2 формула (5) справедлива. Припустимо, що формула (5) вірна при п=k–1 і доведемо її для п= k. Маємо:

,

що й треба було довести.

Озн. 2. Кажуть, що подія А не залежить від події В, якщо умовна і безумовна ймовірності події А рівні, тобто .

Для двох незалежних подій теорема множення ймовірностей набуває найпростішого вигляду, а саме:

Ймовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку їх ймовірностей.

Озн. 3. Події називаються попарно незалежними, якщо для будь-яких двох подій і :

Озн. 4. Події називаються незалежними в сукупності, якщо для будь-яких : .

Очевидно, що події незалежні в сукупності, є попарно незалежними. Виникає питання: чи будуть попарно незалежні події незалежними в сукупності? Відповідь, взагалі кажучи, негативна.

Білет 21