1. Функціональні послідовності і ряди. Збіжність, область збіжності. Рівномірна збіжність. Ознака Вейєрштраса.

Нехай маємо деяку послідовність функцій f₁(x), f₂ ( x ), ..., f_n ( x ) , ... від того самого аргументу x, які визначені на деякій множині Тоді вираз

(1)

називають функціональним рядом.

Функціональний ряд (1) називають збіжним в точці , якщо збігається числовий ряд

(2)

Множину всіх точок , в яких функціональний ряд збігається, називають областю збіжності даного ряду.

Нехай областю збіжності функціонального ряду (1) є деяка множина точок . Тоді сума цього ряду S є функцією від x, S= S(х), областю існування якої є множина E. Отже, можна записати рівність

S(x) = f₁(x) + f₂(x) + … + f_n(x) + … (3)

Введемо позначення:

(4)

(5)

S_n(x), як і для числових рядів, називають n-ю частинною сумою, а r_n(x) (n=1, 2, …) – n-м залишком ряду (1).

Тоді, для кожного рівність (3) можна записати так:

S(x) = S_n(x) + r_n(x). (6)

Перейдемо в цій рівності до границі при і фіксованому х. Оскільки

(7)

то з рівностей (6) і (7) випливає, що

. (8)

Отже, функціональний ряд (1) збігається на множині Е, то для кожної точки виконується співвідношення (8). Очевидно, справедливе і обернене твердження: якщо для кожної точки виконується співвідношення (8), то функціональний ряд (1) на множині Е збігається.

Розглянемо більш детально співвідношення (8). Візьмемо деяку точку . Тоді виконується рівність (9)

Рівність (9) показує, що r_n(x₀) є нескінченно малою величиною. Це в свою чергу, означає, що для будь-якого існує натуральне число N₀, яке залежить від і, очевидно, від точки х₀ (N₀ = N₀( )), таке, що справджується нерівність

для всіх n > N₀( ).

Візьмемо іншу, відмінну від х₀ , точку . Тоді і в цій точці виконується рівність , тобто r_n (x₁) є нескінченно мала величина. Інакше кажучи, для числа існує натуральне число N₁ = N₁( ) таке, що справджується нерівність

для всіх n > N₁( ) і т. д.

Внаслідок цього приходимо до такого означення збіжності функціонального ряду на множині.

Означення 1. Функціональний ряд (1) називають збіжним на множині Е, якщо для будь-якого і для кожного існує натуральне число , яке залежить від і , таке, що (10) для всіх n > N( ).

Означення 2. Функціональний ряд (1)називають рівномірно збіжним на множині Е, якщо для будь-якого існує натуральне число , яке не залежить від точок , і таке, що при виконується нерівність (10) для всіх точок .

Таким чином, ряд (11) на множині точок збігається, але не рівномірно, а на множині точок цей ряд збігається рівномірно.

Теорема (ознака Вейєрштрасса). Якщо на множині Е члени функціонального ряду (1) за модулем не перевищують відповідні члени збіжного числового додатного ряду , (15)

то функціональний ряд (1) на множині Е збігається рівномірно.

Доведення: Нехай для всіх точок виконуються нерівності

n=1, 2, . . . (16)

Звідси і з умови теореми випливає, що ряд на множині Е абсолютно збіжний, а отже, він на цій множині збіжний.

Запишемо n-й залишок для числового ряду (15)

Оскільки ряд (15) збігається, то

Це означає, що для будь-якого існує натуральне число , яке не залежить від точок і таке, що для всіх справджується нерівність

. (17)

Тоді, згідно з нерівностями (16) і (17), для всіх і виконується співвідношення

Теорему доведено.