1. Задача про перевезення (транспортна задача)

У пунктах , виробляється деякий однорідний продукт, причому у пункті виробляється одиниць продукції. У пункті , споживається одиниць цього ж продукту. Припускається, що

Нехай - собівартість перевезення одиниці продукції з пункту у пункт . Необхідно знайти план перевезень продукту таким чином, щоб задовольнити потреби всіх споживачів, мінімізуючи при цьому загальні транспортні витрати.

Нехай - невідома кількість продукції, що планується для перевезення з в . Тоді транспортна задача, яку прийнято називати транспортною задачею лінійного програмування (ТЗЛП), допомагає у знаходженні плану перевезень , що мінімізує загальні транспортні витрати

при обмеженнях

,

,

Зрозуміло, що отримана математична модель транспортної задачі є ЗЛП.

Також є такі практичні задачі, які зводяться до ЗЛП:

1. Задача про оптимальний розподіл ресурсів.

2. Задача про харчовий раціон (задача про дієту)

Загальна, стандартна та канонічна ЗЛП

Загальна ЗЛП формулюється таким чином:

знайти вектор , що максимізує (мінімізує) лінійну функцію

(2.1)

при обмеженнях

(2.2)

, (2.3)

Де символ означає один із знаків .

Вектор , що задовольняє обмеження (2.2), (2.3), називається допустимим розв’язком (вектором, точкою, пластом) ЗЛП (2.1) – (2.3). Множина всіх допустимих розв’язків ЗЛП називається допустимою областю (множиною) ЗЛП і позначається літерою .

Канонічна форма ЗЛП має вигляд

.

Задача лінійного програмування з однотипними умовами формулюється таким чином:

Знайти

при обмеженнях

.

Канонічна форма ЗЛП та ЗЛП з однотипними умовами вважаються стандартними формами ЗЛП (СЗЛП).

Ознака оптимальності базисного розв’язку ЗЛП.

Будемо розглядати ЗЛП у канонічній формі:

(3.1)

при обмеженнях

(3.2)

. (3.3)

Будемо позначати через

.

Вектори , ЗЛП (3.1) – (3.3) будемо називати векторами умов, а вектор В – вектором обмежень цієї задачі.

Означення 3.1. Ненульовий допустимий розв’язок ЗЛП (3.1) – (3.3) називається базисним, якщо система векторів умов , що відповідають додатним координатам цього розв’язку, є лінійно незалежною.

Означення 3.2. Базисний розв’язок ЗЛП (3.1) – (3.3) називається не виродженим, якщо він містить рівно т додатних компонент, та виродженим, якщо додатних компонент менше т.

У цьому випадку базисом, що порядкує розв'язок (3.5) є будь-яка система т лінійно незалежних векторів умов, що включає вектори А₁, …,А_r.

Нехай , - базисний розв'язок ЗЛП (3.1) – (3.3), а А₁, …,А_r – відповідний йому базис. Система рівнянь (3.2) еквівалентна такій системі (3.6)

Остання система в свою чергу буде еквівалентною такій системі

(3.7)

Підставивши (3.6) в (3.1) отримаємо запис ЗЛП (3.1) – (3.3) в такій еквівалентній формі

(3.8)

при обмеженнях

(3.9)

Інформацію про ЗЛП (3.1) - (3.3), записаному у еквівалентній формі (3.8) – (3.9), що відповідає базисному розв'язку х⁰, можна записати у вигляді такої симплекс-таблиці.

Базисні змінні	Значення базисної змінної	Небазисні змінні
		хт+1	…		…	хп

Теорема 3.1. (ознака оптимальності базисного розв'язку ЗЛП). Якщо для деякого базисного розв'язку х⁰ справджуються нерівності , то х⁰ – оптимальний розв'язок ЗЛП (3.1) – (3.3).

Доведення. Нехай х = (х₁,…,х_п) довільний допустимий розв'язок ЗЛП (3.1) – (3.3) і, ЗЛП (3.8) – (3.9), яка еквівалентна задачі (3.1) – (3.3)

Оскільки то з (3.8) та нерівності , отримаємо, що

Що й доводить теорему.

Теорема 3.2. (ознака необмеженості цільової функції ЗЛП на допустимій множині). Якщо для деякого базисного розв'язку х⁰ ЗОП (3.1) – (3.3) ((3.8) – (3.9)) існує хоча б одне таке, що і то цільова функція ЗЛП необмежена зверху на допустимій множині, тобто

.

Алгоритм симплекс-методу розв'язання ЗЛП. Про скінченність алгоритму симплекс методу.

Нехай її базисний розв’язок. Якщо для цього розв’язку , то згідно з теоремою 1 х⁰ є оптимальним розв’язком цієї задачі. Якщо ж для деякого і то згідно з теоремою 2 цільова функція необмежена зверху на і в цьому випадку задача вважається розв’язаною, оскільки з’ясовано, що оптимального розв’язку не існує і

.

Нехай тепер для кожного , для якого , серед елементів є більші нуля.

Алгоритму симплекс-методу розв’язування ЗЛП (3.1)-(3.3) з допомогою переходу від одного базисного розв’язку до кращого базисного розв’язку (від однієї симплекс-таблиці до “кращої” симплекс-таблиці).

1. Нехай маємо базисний розв’язок ЗЛП (3.1)-(3.3). Заповнюємо симплекс-таблицю (3.11), що відповідає цьому базисному розв’язку.

2. Проглядаємо симплекс-різниці Якщо , то є оптимальним розв’язком ЗЛП (3.1)-(3.3).

3. Якщо ні, то вибираємо найменшу симплекс-різницю . Тоді стовпець симплекс-таблиці, в якому знаходиться називаємо розв’язуючим стовпцем. Розв’язуючий стовпець виділяємо стрілочкою.

Для відшукання розв’язуючого рядка знаходимо .

На перетині розв’язуючих стовпця та рядка стоїть розв’язуючий елемент , який заключатимемо в кружечок.

5. Перехід до наступної симплекс-таблиці здійснюється, за таким правилом:

Базисні змінні	Значення базисних змінних	Небазисні змінні
		хm+1				xn
х1 xi xj xm
	L(x0)

Переходимо до кроку №1.

Про скінченність симплекс методу.

ЗЛП (3.1)-(3.3) будемо називати не виродженою, якщо не виродженими є всі її базисні розв’язки.

Розглянемо спочатку не вироджену ЗЛП (3.1)-(3.3). Як зазначалось у §4 в цьому випадку крок симплекс-методу приведе від базисного розв’язку до базисного розв’язку такого, що . Звідси випливає, що . Аналогічно наступний крок дасть базисний розв’язок такий, що і т.д. Отже, у випадку невиродженості ЗЛП (3.1)-(3.3) базисні розв’язки, отримувані в результаті застосування симплекс-методу, попарно різні. Оскільки базисних розв’язків ЗЛП (3.1)-(3.3) має скінчену кількість, то процес застосування до її розв’язування симплекс-методу є скінченим. Це означає, що через скінчену кількість кроків буде знайдено оптимальний розв’язок ЗЛП, або виявлено, що .

У випадку вродженості ЗЛП (3.1)-(3.3) може дорівнювати , в цьому випадку (див §4) і тому . В результаті ж кроку симплекс-методу змінюються лише базис вектори . Це може призвести до того, що протягом низки спроб симплекс-методом буде розглядатися одна і та ж величина, а змінюватимуться лише базисні вектори, що відповідають нульовим базисним змінним і можливе повернення до початкового базису.

Таке явище називається за циклюванням симплекс-методу. Незважаючи на те, що при розв’язувані прикладних задач за циклювання не зустрічається і що побудовано лише декілька штучних прикладів, де це явище має місце, існують різні методи його попередження (виходу з циклу), серед яких метод зрушення запропонований Чирнесом, суть якого полягає в тому, що заміть вектора В розглядають вектор і (збуджується права частина), що дозволяє при досить малих за скінчену кількість кроків симплекс-методу знайти оптимальний розв’язок ЗЛП зі збуреною правою частиною вихідної задачі.

Білет 12