1. Спрямлювані криві та їх довжини. Теорема Жордана. Обчислення довжини кривої за допомогою означеного інтеграла.

Неперервною плоскою кривою називається сукупність точок у площині, координати яких х і у є функції параметра, неперервні на відрізку

Візьмемо (T)–розбиття відрізка :

Позначимо через .Довжина k-ї ланки вписаної ламаної дорівнює

Тому довжина L(T) ламаної P(T) запишеться так

Якщо довжина L(T) вписаної ламаної P(T) незалежно від взятого (T)-розбиття залишається обмеженою (4), то неперервна крива називається спямлюваною, а число називається довжиною цієї кривої. Якщо існують такі (T)-розбиття відрізка , що довжини як завгодно великі, то неперервна крива називається неспрямлюваною.

Теорема (Жордана).Для того щоб неперервна крива (1) була спрямлю-ваною, необхідно і достатньо, щоб були функціями з обмеженими варіаціями на відрізку

Доведення.

Необхідність. Нехай неперервна крива (1) спрямлювана. Для довільного (T)- розбиття (2) відрізка маємо

А це означає, що функції з обмеженими варіаціями на відрізку

Достатність. Нехай - функція з обмеженими варіаціями на відрізку Тоді для довільного (T)- розбиття цього відрізка маємо

Крива (1) є спрямлювана.

Наслідок. Для того щоб крива, задана в прямокутних декартових координатах рівнянням y=f(x), f(x) – неперервна функція на відрізку [a; b], була спямлюваною, необхідно і досить, щоб f(x) була функцією з обмеженою варіацією на відрізку [a; b].

Означення: Неперервна крива (1) називається спрямлюваною, якщо при існує скінченна границя довжин L(T) вписаних ламаних .

Теорема 2. Для того щоб неперервна крива (1) була спрямлюваною, необхідно і достатньо, щоб існувала скінченна границя

Ця границя дорівнює довжині l спрямлюваної кривої.

Неперервна крива (1) називається гладкою, якщо функції і мають похідні і , неперервні на відрізку , які одночасно не перетворюються в нуль .

Неперервна крива (1) називається кусково–гладкою, якщо вона складається з скінченного числа гладких кривих. Довжина спрямлюваної гладкої кривої (1) визначається за формулою (19)

За теоремою Лагранжа маємо

тому довжину вписаної ламаної запишемо так:

(20)

де і .

Довжина кривої (1) дорівнює границі сум (20) при . Однак суми (20) не є інтегральними, оскільки точки і різні.

Щоб знайти границю суми (20), до цієї суми додамо і віднімемо суму

(21)

Перша сума в рівності (21) є інтегральною сумою, складеною для функції і -розбиття (2) відрізка . Оскільки функції і неперервні на відрізку , то на цьому відрізку неперервна (а отже, й інтегровна) і функція .

Тому

(22)

Покажемо, що границя другої суми в рівності (21) при дорівнює нулю.

Задамося числом . Оскільки функція неперервна на від­різку , то, за теоремою Кантора, вона рівно­мірно неперервна на цьому відрізку. Тому для числа знайдеться число таке, що

для і

Візьмемо - розбиття (2), для якого .

Тоді

тому (23)

Скориставшись нерівністю для оцінки зверху кожного доданка другої суми в рівності (21) і застосувавши нерівність (23), дістанемо

і, отже, при границя другої суми в рівності (21) дорівнює нулю. Перейшовши до границі при в рівності (21), дістанемо формулу (19) для обчислення довжини кривої (1).

Покажемо, що формула (19) залишається правильною і для обчислення довжини кусково- гладкої кривої.

Справді, якщо неперервна крива (1) кусково-гладка, то її можна розбити на скінченне число гладких кривих. Це означає, що відрізок можна зобразити у вигляді суми скінченного числа відрізків , попарно без спільних внутрішніх точок:

де

На кожному відрізку функції і мають неперервні похідні і , якщо під значенням цих похідних у точках і розуміти однобічні похідні. Таким чином, функції і обмежені на відрізку і можуть мати розриви першого роду тільки в точках і . Цю властивість має і функція . Тому ця функція інтегровна за Ріманом на відрізку і внаслідок адитивної властивості інтеграла Рімана правильна рівність

За адитивною властивістю спрямлюваної кривої кусково-гладка крива спрямлювана і її довжина дорівнює сумі довжин кривих, відповідних відрізкам :

Отже, довжина l кусково-гладкої кривої (1) також обчислюється за формулою (19).

Нехай крива АВ в полярних координатах задана рівнянням , де — невід'ємна функція, неперервна разом із своєю похідною першого порядку на відрізку , причому для і кожним двом різним значенням (за винятком, можливо, значень і ) відповідають дві різні точки кривої АВ. Використовуючи зв'язок між декартовими і полярними координатами , параметричні рівняння (1) кривої АВ запишемо в такому вигляді:

Роль параметра t тут виконує кут . Оскільки , то:

(24)

Якщо крива АВ в декартових координатах задана рівнянням , де — функція, неперервна разом з своєю похідною першого порядку на відрізку , то, взявши х за параметр t, параметричні рівняння (1) кривої АВ запишемо у вигляді:

Формула (19) для і цього випадку набуде вигляду: (25)

Білет11