1. Квадровні фігури. Застосування означеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Розглянемо можливі багатокутні фігури Р, які цілком містяться в F, і багатокутні фігури Q, які цілком містять F. Фігури Р будемо називати вписаними, фігури Q – описаними. Числова множина {μ(P)} площ всіх вписаних багатокутних фігур Р обмежених зверху (наприклад, площею будь-якою описаною багатокутною фігурою Q). Числова множина {μ(Q)} площ всіх описаних навколо фігури F багатокутних фігур Q обмежено знизу (наприклад, нулем). Тому існує точна верхня грань

(10.24)

площ всіх багатокутних фігур, вписаних в фігуру F, і точна нижня грань

(10.25)

площ всіх багатокутних фігур, описаних навколо F.

Величину називають нижньою площею фігури F, а – верхньою площею цієї фігури. Із того, що площа будь-якої вписаної фігури не більша, ніж площа будь-якої описаної фігури, випливає, що

Означення 1. Плоска фігура F називається квадровною (чи має площу), якщо верхня площа цієї фігури співпадає з її нижньою площею . При цьому число називається площею фігури F.

Теорема 10.2'. Для квадровної плоскої фігури F необхідно і достатньо, щоб для будь-якого ε>0 знайшлась така описана навколо F багатокутна фігура Q і така вписана в F багатокутна фігура Р, для яких

(10.26)

Доведення. Необхідність. Нехай фігура F квадровна, тобто . За означенням точних граней і для будь-якого фіксованого нами ε>0 знайдуться вписана багатокутна фігура Р і описана багатокутна фігура Q такі, що

=> .

Достатність. Нехай для будь-якого ε>0 існують багатокутні фігури Q і P, вказані в формулюванні теореми. Тоді із рівності і з співвідношень , отримаємо, що

Оскільки ε – довільне додатне число, то із умови випливає, що , тобто доведено, що фігура F квадровна.

Теорема 10.2. Для квадровної плоскої фігури F необхідно і достатньо, щоб для будь-якого ε>0 знайшлась така квадровна плоска фігура Q, яка містить F і така квадровна плоска фігура Р, яка міститься в F, для яких

Площа криволінійної трапеції і криволінійного сектора

Рис.49

Поняття площі довільної плоскої фігури і властивостей площі такої фігури розглянемо далі. Тут же розглянемо питання про площу криволінійної трапеції і криволінійного сектора. Площею криволінійної трапеції аАВb (рис. 49)

назвали спільну границю, (якщо вона існує) сум (2) і (3), які дорівнюють відповідно площам фігур R⁽¹⁾(T) і R⁽²⁾(T) (рис. 49), перша з яких цілком міститься в криволінійній трапеції аАВb, а друга сама цілком містить у собі цю трапецію. Покажемо що суми і мають спільну границю, тобто криволінійна трапеція аАВbмає площу і що ця площа S означається за формулою: (1)

Дійсно, криволінійну трапецію аАВb зверху обмежує графік неперервної функції у=f(x). Але функція, неперервна на відрізку [a;b], внаслідок теореми (Всяка функція, неперервна на відрізку, інтегрована за Ріманом на цьому відрізку) інтегровна на цьому відрізку. Тому суми (2), (3), що є інтегрованими сумами, складеними для функції f(x) і (Т)-розбиття відрізка [a;b], при прямують до однієї й тієї ж границі . Таким чином, площа криволінійної трапеції аАВb (рис. 49) обчислюється за формулою (1).

Нехай крива АВ (рис. 53) в полярній системі координат задана рівнянням , де – невід’ємна неперервна функція на відрізку [α;β] (0≤α<β≤2π). Фігура, обмежена кривою АВ і променями і , називається криволінійним сектором. Якщо крива АВ є дуга кола радіуса ρ з центром на початку координат, то криволінійний сектор буде круговим сектором. Означимо поняття площі криволінійного сектора і знайдемо формулу, за допомогою якої можна обчислити площу.

Для цього візьмемо довільне (Т)-розбиття відрізка [α; β]:

(Т) (2) і з початку координат проведемо промені [ОА₀), [ОА₁), [ОА₂),... , [ОА_к), [ОА_к+1), ..., [ОА_n), нахилені до додатного напряму осі Ох під кутами, що відповідно дорівнюють (рис. 53). Ці промені розіб’ють криволінійний сектор ОАВО на n криволінійних секторів ОА_кА_к+1О (к=0, 1, 2, ..., n-1).

Оскільки функція неперервна на відрізку [φ_k; φ_k+1], то на цьому відрізку вона має найменше і найбільше значення. Позначимо через

.

Проведемо дуги кіл з центром на початку координат радіусами m_k і М_k до перетину з променями [ОА_к) і [ОА_к+1) (к=0,1,2, ..., n-1). Точки перетину кола радіуса m_k з променями [ОА_к) і [ОА_к+1) позначимо відповідно через А′_к і А′_к+1, а точки перетину кола радіуса М_k з цими променями – відповідно через А′′_к і А′′_к+1. Ми дістали колові сектори ОА′_кА′_к+1О і ОА′′_кА′′_к+1О, перший з яких цілком міститься в криволінійному секторі ОА_кА_к+1О, а другий сам цілком містить у собі цей криволінійний сектор. Таким чином фігура R⁽¹⁾(T), що складається з n колових секторів ОА′_кА′_к+1О (к=0, 1, 2, ..., n-1), цілком міститься в криволінійному секторі ОАВО, а фігура R⁽²⁾(T), яка складається з n колових секторів ОА′′_кА′′_к+1О (к=0, 1, 2, ..., n-1), сама цілком містить у собі цей криволінійний сектор.

Площею криволінійного сектора ОАВО називають спільну границю (якщо вона існує) при площ фігур R⁽¹⁾(T) і R⁽²⁾(T).

Покажемо, що площі фігур R⁽¹⁾(T) і R⁽²⁾(T) дійсно мають спільну границю при

і що ця границя S виражається через визначений інтеграл за формулою:

(3)

Справді, площі колових секторів ОА′_кА′_к+1О і ОА′′_кА′′_к+1О дорівнюють відповідно і , тому

пл. пл. (4)

Суми (4) є відповідно нижня і верхня суми Дарбу, складені для функції і (Т)-розбиття відрізка [α; β]. Оскільки функція неперервна на відрізку [α; β], то на цьому відрізку неперервна і функція . А всяка неперервна функція на відрізку інтегрована на цьому відрізку. Для функції , інтегрованої на відрізку [α; β], границя нижньої суми Дарбу дорівнює границі верхньої суми Дарбу і ця їх спільна границя S дорівнює визначеному інтегралу тобто

Таким чином, площа S криволінійного сектора ОАВО обчислюється за формулою (3).