Уравнение плоской механической волны.
В
однородной изотропной среде колебания,
возбуждаемые в одной точке, распространяются
от неё равномерно по всем направлениям;
такая волна называется сферической.
Если источник колебаний имеет значительную
плоскую поверхность, то волна от него
распространяется параллельным потоком,
направленным перпендикулярно поверхности
источника. Такая волна называется
плоской. Уравнение плоской волны выражает
зависимость смещения любой колеблющейся
точки, участвующей в волновом процессе,
от координаты её равновесного положения
и времени,
.
Выведем это уравнение, считая, что волна
распространяется вдоль оси ОХ, без
затухания так, что амплитуды колебаний
всех точек среды одинаковы для всех
точек среды:
Пусть
в точке
находится точка В среды, которая первая
начинает колебания, вибратор, так что
смещение её описывается уравнением
До
точки среды С, находящейся на расстоянии
от точки В, возмущение дойдет с некоторым
запозданием на время
,
так что время колебаний точки С будет
определяться как
,
а смещение её опишется уравнением
.
Время
запаздывания можно определить как
,
где
–
скорость распространения волны. Уравнение
смещения точки С запишется теперь как
.
Такое же уравнение мы можем записать для любой точки среды. Поэтому мы можем сказать, что уравнение плоской волны есть:
Т.к.
и
,
то уравнение (2.18) можно записать как
Для
любого конкретного времени,
,
уравнение волны представляет зависимость
смещения только от расстояния
:
.
График зависимости
представляет собой как бы фотографию
волны в момент времени
.
Для гармонической волны график показан
на рисунке 2.18.
Рис. 2.18.
Если
график волны, приведенный на рис.2.18,
отнести к некоторому времени
,
то для других моментов времени
,
,
график перемещается вдоль оси
со скоростью
распространения волны. Кривые,
соответствующие указанным моментам
времени, показаны штриховыми линиями.
Энергия волны. Поток энергии волны. Вектор Умова.
Энергия, переносимая волной, складывается из потенциальной и кинетической энергии всех колеблющихся частиц. Среднее значение полной энергии одной колеблющейся частицы за один период определяется как
,
где
– масса частицы.
Если
волна распространяется в некотором
объёме среды
,
содержащем
частиц, то средняя энергия всех этих
частиц определится как
.
Удобнее выразить эту энергию через макроскопические параметры, в частности, через плотность среды
.
Поэтому,
домножив и разделив выражение (10) на
и обозначив
(
- объёмная плотность энергии), получим:
Количественной характеристикой перенесенной энергии является поток энергии
поток
энергии -
величина, численно равная средней
энергии волны, переносимой волной в
единицу времени через некоторую
поверхность
,
перпендикулярную направлению
распространения волны.
Плотность
потока энергии (интенсивность волны),
поток энергии через единицу площади
поверхности, т.е. средняя энергия,
переносимая волной в единицу времени
через единицу площади поверхности,
перпендикулярной направлению
распространения волны:
,
Плотность
потока, переносимая волной без потерь,
может быть рассчитана через характеристики волны.
Для
этого выделим в среде, в которой
распространяется волна, некоторый объём
цилиндрической формы,
.
Будем считать, что вся энергия,
сосредоточенная в этом объёме, переносится
через поверхность
,
за время
(
– высота цилиндра,
-скорость распространения волны). Тогда
,
откуда
,
т.е. плотность потока энергии волны равна произведению объёмной плотности энергии на скорость волны.
Формула (2.25) выражена в скалярном виде. Но скорость распространения волны векторная величина, поэтому формула может быть записана в векторном виде
Отсюда
следует, что вектор
,
называемый вектором Умова, совпадает
по направлению со скоростью распространения
волны.
