Автоколебания

Мы выяснили, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от амплитуды и частоты внешней, вынуждающей, силы.

Это означает, что внешнее воздействие “управляет” колебаниями системы и сообщает ей энергию, не согласовываясь с процессами, происходящими в системе. Можно создать такую систему, в которой вынужденные колебания происходят с собственной частотой. Такие системы называются автоколебательными, а происходящие в них колебания - автоколебаниями.

Механическая автоколебательная система содержит источник внешней силы, постоянной по величине и направлению, которая периодически в необходимые моменты “подталкивает” колеблющееся тело и таким образом поддерживает его свободные колебания незатухающими. Блок-схема автоколебательной системы представлена на рис. 2.8.

Рис. 2.8.

Сложение колебаний

Колебательное движение, при котором смещение описывается во времени любым законом, но не законом синуса или косинуса, является сложным колебанием. Сложное колебание – это результат сложения простых, гармонических, колебаний. Поэтому мы должны уметь складывать колебания.

Смещение тела, участвующего одновременно в двух или нескольких колебаниях, находится на основании принципа суперпозиции, согласно которому эти колебания накладываются, не влияя одно на другое.

I.Однонаправленные колебания.

Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль одной линии. Смещения этой точки для каждого колебания описывается уравнениями

,

а) Если ; , но _то смещение результирующего колебания описывается как

.

б) В общем случае при условии, что ,

, , сложение удобнее проводить с использованием метода векторных диаграмм.

При указанных условиях смещения точки запишутся как

,

,

а смещение результирующего колебания определится как

.

Смещение результирующего колебания будем описывать уравнением

Для расчета амплитуды результирующего колебания построим векторную диаграмму. Из точки системы координат ХОУ (рис.2.9) проведем векторы и под углами и к оси ОХ, соответственно. Длины этих векторов равны модулям амплитуд и складывающихся колебаний. Векторы и вращаются с одинаковой частотой, следовательно, вектор будет вращаться с той же частотой.

А мплитуду результирующего колебания найдем из треугольника , применив теорему косинусов

Т.к. ,

то

рис. 2.9

Начальная фаза результирующего колебания находится как

= = .

Частные случаи:

1) , ,

где

Тогда - усиление колебаний (рис.2.10):

Рис. 2.10

2) ,

Тогда - ослабление колебаний (рис.2.11):

Рис. 2.11

Биения. Если частоты слагаемых колебаний мало отли-чаются, т.е. , то результирующее колебание будет подобно гармоническому колебанию с медленно изменяющейся амплитудой. Наблюдается амплитудная модуляция. Такие колебания называются биениями (рис. 2.12)

Рис. 2.12

2. Взаимноперпендикулярные колебания.

Возможна ситуация, при которой точка участвует одновременно в двух взаимноперпендикулярных колебаниях: одно направлено вдоль оси ОХ, другое - вдоль оси ОУ. Смещения точек описываются при этом уравнениями (считаем, что собственная частота у обоих колебаний одинакова):

,

.

Исключая из этих уравнений время t, получим уравнение

в виде

Это и есть уравнение траектории, по которой движется точка, а именно, уравнение эллипса (рис.2.13).

Рис. 2.13

Конкретный вид траектории зависит от разности фаз . Если , где ,

то , и уравнение (2.16) запишется как

или после преобразований

, , ,

т.е. получаем уравнения прямой, по которой будет двигаться точка (рис.2.11 соответствует знаку , рис.2.12 соответствует знаку -).

Рис.2.11	Рис.2.12

Если , то , , и уравнение (2.16) запишется как

Это уравнение эллипса, расположенного симметрично относительно осей координат. Именно такую траекторию будет описывать точка (рис. 2.13).

Если при такой разности фаз, , амплитуды равны между собой ( ), то уравнение (2.17) станет уравнением окружности (рис. 2.14).

Рис. 2.13	Рис. 2.14

Траектории, по которым движется точка в результате сложения колебаний, называются фигурами Лиссажу.