Механические колебания

В общем случае колебательными процессами называют процессы, точно или почти точно повторяющиеся через одинаковые промежутки времени (вращение тела вокруг оси, движение точки по окружности, звуковые колебания, электромагнитные волны, переменный ток).

Мы начнем изучение колебаний с механических колебаний.

Свободными колебаниями называют колебания, при которых кроме воздействия определенной среды нет никаких дополнительных воздействий, т.е. колебания происходят без действия внешних сил.

Идеальными называют колебания, при которых нет воздействия среды, т.е. сила трения равна нулю, , а колебания происходят только под действием сил, принадлежащих самой колеблющейся системе.

Гармоническими называют колебания, в которых величины, описывающие колебания, изменяются по законам синуса или косинуса.

Основные характеристики колебательного движения:

1. смещение (м) - расстояние от тела до положения равновесия в любой момент времени;

2. амплитуда, (м) – максимальное смещение из положения равновесия;

3. период колебаний, (с) – время, в течение которого совершается одно полное колебание, т.е. точка проходит путь, равный четырем амплитудам. Через время повторяются значения всех физических величие, характеризующих колебания;

4. частота (с^-1 или Гц) – число полных колебаний за одну секунду, частота связана с периодом колебаний соотношением ;

5. круговая частота - число полных колебаний за 2 секунд.

Колебательное движение происходит под воздействием силы, направление которой меняется периодически на обратное. Эта сила называется возвращающей, т.к. она стремится вернуть тело или материальную точку, выведенную из положения равновесия, обратно в положение равновесия. Ёе можно найти как равнодействующую сил, принадлежащих самой колеблющейся системе:

- среда не влияет на движение тела

,

Рис. 2.1

но направлены эти силы в

противоположные стороны. Следовательно, сумма сил

, а

,

т.е. в проекции на ось

Рис.2.2

Рис.2.3

На рис. 2.2 и рис 2.3 .

Рассматривая аналогично любую другую колебательную, можно убедиться в том, что

.

Эта сила называется, кроме того, квазиупругой силой, т.к. по внешнему виду выражение её похоже на выражение для упругой силы, но природа её иная – она является равнодействующей всех сил, принадлежащих самой колеблющейся системе.

Незатухающие колебания

Незатухающие колебания могут происходить в том случае, если нет влияния среды, т.е. сила трения отсутствует. При таких колебаниях нет потерь энергии на преодоление силы трения. Это, естественно, идеальные колебания и происходят они под действием сил, принадлежащих самой колеблющейся системе, точнее, под действием возвращающей силы.

Для того, чтобы найти зависимость смещения от времени, , составим уравнение движения точки: , следовательно на точку действует только возвращающая сила . Но, рассматривая движение точки с точки зрения 2-го закона Ньютона, можно сказать, что на точку действует равнодействующая сила , где - ускорение. Т.е. можно записать,

или в скалярном виде в проекциях на ось ОХ

Т.к. , то уравнение (2.2) можно записать как

.

Разделим обе части уравнения на m и обозначим ( - собственная частота колебаний), получим дифференциальное уравнение 2-го порядка для идеальных колебаний

Решением этого уравнения является функция

или

Здесь – фаза колебания, которая характеризует смещение точки из положения равновесия в любой момент времени, а ₀ – начальная фаза колебаний.

Анализируя решение, следует отметить, что амплитуда колебаний с течением времени не меняется, т.к. нет потерь энергии точки на преодоление силы трения, и что колебание является гармоническим и длится сколь угодно долго.

Г рафик зависимости

смещения от времени приведен на рис.2.4

Рис. 2.4

Скорость движения точки определится как

где – амплитудное значение скорости.

Чтобы сравнить по фазе скорость со смещением, необходимо выразить скорость через синус, как и смещение

,

т.е. скорость опережает смещение по фазе на . График скорости приведен на рис.4.

Ускорение точки найдем как

где – амплитудное значение ускорения.

Для сравнения по фазе ускорения со смещением запишем ускорение в форме

,

откуда следует, что ускорение опережает по фазе смещение на . График ускорения представлен на рис. 2.4.

Сравнивая формулы (4), (5) и (6), замечаем что, в крайних положениях при и ускорение , а скорость . В положении равновесия при ускорение , а скорость максимальна, .