Незатухающие электромагнитные колебания.
Такие
колебания происходят в идеальном
колебательном контуре, в котором
и не происходит потерь первоначально
накопленной энергии на нагревание
проводов. Эти колебания являются
свободными.
Согласно закону сохранения энергии для этой цепи следует записать
.
Следовательно,
,
перенесем
влево
.
Т.к.
,
то
и уравнение запишется как
.
Разделим обе части уравнения на
,
получим
дифференциальное
уравнение 2-го порядка для незатухающих
электрических колебаний. Его решением
является функция
или
.
График этой функции:
ННапряжение
на конденсаторе рассчитаем по формуле
т.е.
напряжение совпадает по фазе с зарядом.
Т
ок
в контуре
Э
дс
индукции
.
Находится
в противофазе с зарядом и с напряжением
на конденсаторе.
Период
колебаний незатухающих колебаний
определяется по формуле Томпсона:
.
Затухающие колебания
Р
ассмотрим
свободные колебания в реальном
колебательном контуре. В нём
,
следовательно, провода катушки будут
нагреваться, энергия, первоначально
накопленная энергия будет теряться.
Такие колебания называются затухающими.
Согласно
2-ому правилу Кирхгофа сумма напряжений
на элементах замкнутого контура равна
сумме эдс, заключенных в этом контуре
(следует из закона сохранения энергии):
.
Следовательно, для данного контура
запишем:
.
Т.к.
то это уравнение запишется как
или
.
Разделим
на
и, отметив, что
,
получим
.
Введя
обозначения:
где
- коэффициент
затухания, получим
ДУ 2-го порядка для затухающих колебаний. Его решением является функция
или
.
амплитуда
затухающего колебания, убывает с течением
времени по экспоненте. Само же колебание
остаётся гармоническим. График затухающего
колебания
Напряжение на обкладках конденсатора изменяется по такому же закону, как и заряд,
.
Сила тока в контуре
ток
в контуре отстает от напряжения по фазе
на
.
Быстрота затухания колебаний характеризуется логарифмически декрементом затухания
.
На
практике удобнее использовать величину,
называемую добротностью
.
,
т.е. быстрота затухания определяется параметрами контура.
Вынужденные колебания.
Чтобы
колебания в контуре были не затухающими,
к нему необходимо подать внешнюю эдс,
которая должна быть периодической
(изменяться по синусу или косинусу) и
должна иметь частоту колебаний
,
отличную от частоты собственных
колебаний:
.
Источник внешней эдс можно включать
как параллельно, так и последовательно.
Тогда 2-ое правило Кирхгофа для такого контура
запишется в виде
или
Производя замену , деля на и введя обозначения получим
ДУ 2-го порядка для вынужденных колебаний. Решением этого уравнения является функция
или
.
Анализируя это решение, находим, что колебания происходят с частотой внешней (вынуждающей) эдс. Начальная фаза колеба-
ний
меняется на новую фазу
,
Само же колебание остается гармоническим.
И еще одна особенность: амплитуда
вынужденных колебаний зависит от
параметров источника внешней эдс
.
При
малых затуханиях, т.е. при
.
Если
,
то происходит резкое возрастание
амплитуды заряда на пластинах конденсатора
и напряжения. Это явление называется
резонансом.
В практической медицине, например в аппарате для УВЧ - терапии вынужденные в контуре, содержащем основную нагрузку, поддерживаются с помощью эдс, возбуждаемой со стороны контура, составляющего часть генератора колебаний.
Эти
два контура связаны индуктивной связью,
а контур основной нагрузки имеет
переменную ёмкость для настройки
контуров в резонанс. Частота
обычно задана, а
подбирается с помощью конденсатора
так, чтобы настроить эти контуры в
резонанс. Поэтому в контуре
возникают колебания, резонансная кривая
которых показана на рисунке
О
строта
кривой пропорциональна добротности
контура.