82. Нормальний розподіл: параметри, вид кривої розподілу, інтерпретація площі під кривою розподілу.

Закон нормального розподілу, так званий Закон Гаусса, - один з найпоширеніших законів. Це фундаментальний закон у теорії ймовірностей і в її застосуванні. Нормальний розподіл найчастіше зустрічається у вивченні природних і соціально-економічних явищ. Інакше кажучи, більшість статистичних сукупностей у природі і суспільстві підпорядковується закону нормального розподілу. Відповідно можна сказати, що сукупності значної частини великих за обсягом вибірок підпорядковуються закону нормального розподілу. Ti із сукупностей, які відхиляються від нормального розподілу в результаті спеціальних перетворень, можуть бути наближені до нормального. У зв’язку з цим слід пам’ятати, що принципова особливість цього закону стосовно до інших законів розподілу полягає в тому, що він є законом границі, до якої наближаються інші закони розподілу в певних (типових) умовах.

Нормальний розподіл ознаки спостерігається в тих випадках, коли на величину його значень діє множина випадкових незалежних або слабо залежних факторів, кожен з яких відіграє в загальному фактично однаково малу роль (тобто відсутні домінуючі фактори). Функція щільності розподілу якої має вигляд:

, де - дисперсія випадкової величини, ( ² – це теоретична дисперсія, що відрізняється від s², яка обчислюється за вибірковими даними)

Нормальний розподіл нерозривно пов’язаний з особливістю функції. Функція є значення однієї змінної ознаки щодо другої також змінної ознаки, яка умовно вважається аргументом. Тобто, якщо відповідному значенню незалежної змінної величини Х, яка зветься аргумент, відповідає одне значення другої змінної величини У, яка зветься функція, то кажуть «У є функція від Х»: у=f(х). Приклад: у=2х; у=0,1х.

Для того, щоб знайти закон розподілу змінної випадкової величини, необхідно знайти функціональну залежність між числовими значеннями, які вона може приймати та ймовірностями цих значень. Графік функції щільності нормального розподілу називають кривою Гауса або нормальною кривою. Параметрами та впливають на форму кривої розподілу та , де та — параметри розподілу.

Інтегральна функція нормального розподілу має вигляд

(4.6)

Розподіл називають стандартним нормальним розподілом.

Тобто ймовірність того, що внаслідок проведення експерименту випадкова величина Х, яка має розподіл , не потрапить в проміжок , дорівнює 0,0027.

В практичних розрахунках часто використовують правило 3-х сігма: якщо випадкова величина розподілена нормально, то абсолютна величина її відхилення від математичного сподівання не перевищить потроєного середньоквадратичного відхилення.

83. Статистичний розподіл: умови застосування, параметри, інтерпретація, сфера застосування.

Статистичним розподілом називають перелік варіант і відповідних їм частот або відносних частот. Статистичний розподіл можна задавати також у вигляді послідовності інтервалів і відповідних їм частот.

Кількісні ознаки елементів генеральної сукупності можуть бути одновимірними і багатовимірними, дискретними і неперервними.

Коли реалізується вибірка, кількісна ознака, наприклад Х, набуває конкретних числових значень (Х = хі), які називають варіантою. Зростаючий числовий ряд варіант називають варіаційним.

Кожна варіанта вибірки може бути спостереженою n_і раз (n_і ≥ 1 ), число n_і називають частотою варіанти x_і.

При цьому k

n = ∑ n_і,,

і=1

де k — кількість варіант, що різняться числовим значенням;

n — обсяг вибірки.

Відношення частоти n_і варіанти x_і до обсягу вибірки n називають її відносною частотою і позначають через W_і , тобто

W_і = n_і / n

Для кожної вибірки виконується рівність

k

∑ n_і, W_і = 1

і=1

Якщо досліджується ознака генеральної сукупності Х, яка є неперервною, то варіант буде багато. У цьому разі варіаційний ряд – це певна кількість рівних або нерівних частинних інтервалів чи груп варіант зі своїми частотами.

Такі частинні інтервали варіант, які розміщені у зростаючій послідовності, утворюють інтервальний варіаційний ряд. На практиці для зручності, як равило, розглядають інтервальні варіаційні ряди, у котрих інтервали є рівними між собою.

Перелік варіант варіаційного ряду і відповідних їм частот, або відносних частот, називають дискретним статистичним розподілом вибірки.