74. Стандартний метод імітації неперервних випадкових величин.

Важливим питанням у методі Монте-Карло є створення на ЕОМ випадкових чисел з довільним неперервним розподілом. Існує кілька способів перетворення РВП [0, 1] на інші розподіли. Найчастіше використовується спосіб, що грунтується на такій теоремі.

Теорема. Нехай - випадкова величина, рівномірно розподілена на відрізку [0, 1]. Тоді випадкова величина X, яка є розв’язком рівняння , (8.1) має щільність f (x).

Теорема дає змогу сформулювати правило генерування випадкових чисел, що мають довільний неперервний розподіл:

1) виробляється випадкове число РВП [0, 1];

2) випадкове число з pозподілом f (x) є розв’язком рівняння (8.2)

Таким чином, послідовність , що належить до РВП [0, 1], перетворюється на послідовність , яка має задану щільність розподілу f (x).

Слід зазначити, що стандартний метод імітації неперервних розподілів доцільно застосовувати лише в разі виконання таких умов:

1) інтеграл (8.2) можна взяти (подати в квадратурах);

2) здобуте після інтегрування рівняння розв’язується щодо невідомого

3) остаточна формула не потребує значних витрат машинного часу для її реалізації.

Якщо такі умови не виконуються, то для імітації неперервних випадкових величин застосовують інші методи.

75. Приклади застосування стандартного методу імітації неперервних випадкових величин.

Приклад 1. Нехай потрібно створити послідовність випадкових чисел, рівномірно розподілених на відрізку [a, b]. Застосувавши перетворення (8.2), дістанемо: (8.3). Звідси

(8.4)

Приклад 2. Розглянемо імітацію випадкових величин з експоненціальним (показниковим) розподілом. Відомо, що коли ймовірність появи випадкової події в малому інтервалі часу t дуже мала і не залежить від появи інших подій, то інтервали часу між послідовними подіями розподіляються за експоненціальним законом: . (8.5)

Цьому закону розподілу підпорядковуються багато явищ: тривалість телефонних розмов, час прибуття літаків до аеропорту тощо.

Підставляючи (8.5) в (8.2) - в білеті 74, маємо

Величина також має рівномірний розподіл на відрізку [0, 1], тому вираз для х_і можна записати простіше: (8.6) Формула (8.6) використовується практично в усіх стандартних підпрограмах імітації розподілів виду (8.5).

76. Метод добору (відбраковки).

Нехай потрібно дістати послідовність реалізації випадкової величини X, щільність розподілу ймовірностей якої обмежена на скінченному відрізку [0, 1]. Таку послідовність випадкових чисел можна знайти за методом добору (відбракування). Це означає, з початкової множини вилучаються числа, що не задовольняють певну умову. Отже, сутність методу полягає ось у чому. Нехай створено чергові числа РСП [0, 1]. Виконаємо перетворення (2.32) ; (2.33)

Випадкова величина x' рівномірно розподілена на відрізку [a, b]; y - на відрізку [0,c]. Має місце така теорема. Теорема. Випадкова величина X, визначена умовою , якщо (2.34) має щільність розподілу