Лекция 4.( 2часа) Вынужденные механические колебания. Упругие волны
(Продольные и поперечные волны в упругой среде. Распространение волн. Фронт волны и волновая поверхность. Принцип Гюйгенса. Уравнение плоской бегущей волны. Длина волны. Звуковые волны.)
Упругие волны
Упругими (механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде.
Упругие волны бывают продольными (в которых частицы среды колеблются в направлении распространения волны) и поперечными (в которых частицы колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны).
Внутри жидкостей и в газах возникают только продольные волны, в твёрдых телах – продольные и поперечные.
Длиной волны называется расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе
,
(1)
где
-
скорость волны,
-
период,
-
частота.
Уравнение бегущей волны
Бегущими называются волны, которые переносят в пространстве энергию.
Распространение волн в однородной изотропной среде в общем
случае описывается волновым уравнением:
,
(2)
которое является дифференциальным уравнением в частных производных.
Здесь
-
смещение колеблющейся частицы, как
функция координат и времени,
- фазовая
скорость, т.е. скорость перемещения фазы
колебаний.
Для плоской волны волновое уравнение имеет вид:
.
Решение этого уравнения является уравнением бегущей плоской
волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси в
среде, не поглощающей энергию:
или
,
(3)
где
- амплитуда волны,
- циклическая частота,
-фаза
волны,
- начальная фаза,
- волновое
число,
- фазовая
скорость.
Принцип суперпозиции. Интерференция волн
Принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы каждой волны.
Интерференция волн – наложение двух (или нескольких) когерентных волн, в результате чего происходит усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн.
Когерентными называются волны одного направления одинаковой частоты и постоянной разности фаз.
Рассмотрим
наложение двух когерентных волн,
возбуждаемых точечными источниками
(для простоты начальные фазы
):
.
Разность фаз этих колебаний равна
,
(4)
где
- разность хода волн,
-
длина волны.
1) Если колебания происходят в одинаковой фазе, т.Е. ( , (5)
то наблюдается максимум интерференции. Приравниваем (4) и (5):
.
Получаем условие максимума при интерференции:
(
.
(6)
В
этом случае
.
2) если колебания происходят в противофазе, т.е.
(
,
(7)
то наблюдается минимум интерференции. Приравниваем (4) и (7):
.
Получаем условие минимума при интерференции:
(
.
(8)
В
этом случае
.
Стоячие волны
Особым случаем интерференции являются стоячие волны – это волны, образующиеся при наложении двух волн одинаковой частоты и амплитуды, распространяющихся навстречу друг другу.
Такой случай можно реализовать, заставив бегущую волну отразиться от преграды (рис. 1).
Уравнения падающей и отражённой волн имеют вид:
.
Сложив эти уравнения, используя тригонометрические преобразования, получаем уравнение стоячей волны:
,
(9)
где амплитуда стоячей волны:
.
(10)
Из выражения (10) видно, что амплитуда стоячей волны
.
(11)
Точки,
в которых амплитуды бегущей и отражённой
волны складываются, называются пучностями
(
).
Точки,
в которых амплитуда равна нулю, называются
узлами
(
).
Эти точки колебаний не совершают.
Пучность
образуется в тех точках, где колебания
бегущей и отражённой волн происходят
в одинаковой фазе, т.е.
(
).
Следовательно, координаты
пучностей:
(
)
. (12)
Узлы
образуются там, где колебания происходят
в противофазах, т.е.
(
).
Следовательно, координаты
узлов:
(
).
(13)
Длиной
стоячей волны называется расстояние
между пучностями или узлами:
.
Таким образом, длина стоячей волны равна половине длины складываемых волн:
.
(14)
Стоячая волна не переносит энергии, т.к. энергия переносится в равных количествах бегущей и отражённой волнами.