- •Часть II
- •Эдс индукции
- •Взаимная индукция
- •Трансформатор
- •Явление самоиндукции
- •Лекция 2. (2 часа) Уравнения Максвелла
- •Теорема Гаусса для электрического поля
- •Теорема Гаусса для магнитного поля
- •Циркуляция вектора электрического поля
- •Циркуляция вектора магнитного поля
- •Ток смещения
- •Пружинный маятник (рис. 3)
- •Физический маятник (рис. 4)
- •Математический маятник (рис. 5)
- •Гармонический осциллятор при наличии сил сопротивления
- •Лекция 4.( 2часа) Вынужденные механические колебания. Упругие волны
- •Упругие волны
- •Уравнение бегущей волны
- •Принцип суперпозиции. Интерференция волн
- •1) Если колебания происходят в одинаковой фазе, т.Е. ( , (5)
- •Стоячие волны
- •Эффект Доплера
- •Затухающие электрические колебания
- •Лекция 6. (2 часа) Вынужденные электромагнитные колебания. Электромагнитные волны
- •Вынужденные электрические колебания
- •Резонансные явления в колебательном контуре. Резонанс напряжений и резонанс токов.
- •Электромагнитные волны.
- •Характеристики электромагнитной волны
- •Энергия, поток энергии электромагнитной волны
- •Лекция 7. (2 часа) Интерференция света
- •Когерентность и монохроматичность световых волн
- •Некоторые методы наблюдения интерференции света
- •Применение интерференции света
- •Лекция 8. ( 2 часа) Дифракция света
- •Принцип Гюйгенса — Френеля
- •Метод зон Френеля
- •Дифракция Френеля на круглом отверстии
- •Дифракция Френеля на диске
- •Дифракция Фраунгофера на одной щели
- •Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке
- •Дифракция на пространственной решетке
- •Лекция 9. (2 часа)
- •Дисперсия и поглощение света в веществе.
- •Поглощение света
- •Естественный и поляризованный свет
- •Поляризация света при отражении и преломлении на границе двух диэлектриков
- •Двойное лучепреломление. Призма Николя
- •Искусственная оптическая анизотропия
- •Вращение плоскости поляризации
- •Лекция 10. (2 часа) Тепловое излучение
- •Понятие о равновесном тепловом излучении
- •Характеристики теплового излучения
- •Закон Кирхгофа
- •Законы излучения абсолютно черного тела
- •Квантовый характер излучения
- •Лекция 11. (2 часа) Фотоэлектрический эффект
- •Внешний фотоэффект
- •Внутренний фотоэффект
- •Вентильный фотоэффект
- •Корпускулярно-волновой дуализм
- •Лекция 12. (2 часа) Теория атома водорода по Бору
- •Закономерности линейчатых спектров водорода
- •Модель атома Томсона
- •Опыты Резерфорда
- •Планетарная модель атома Резерфорда
- •Постулаты Бора
- •Опыты Франка и Герца
- •Лекция 13. (2 часа) Элементы квантовой механики
- •Гипотеза Луи-де-Бройля
- •Корпускулярно-волновые свойства частиц
- •Соотношение неопределенностей
- •Электрон в электронно-лучевой трубке и в атоме
- •Длина волны де-Бройля покоящихся тел
- •Физический смысл волновой функции
- •Волновая функция заряженной частицы
- •Операторы импульса и энергии
- •Уравнение Шредингера
- •Лекция 14. (2 часа) Оптические квантовые генераторы
- •Спонтанные и вынужденные переходы, их вероятность
- •Инверсная населенность уровней
- •Лекция 15. (2 часа) Элементы зонной теории твердых тел
- •Лекция 16. (2 часа) Радиоактивность
- •Радиоактивность
- •Методы регистрации радиоактивного излучения
- •Правила радиоактивного смещения
- •Изотопы, изобары, изотоны, изомеры
- •Закон радиоактивного распада, активность
- •Атомное ядро
- •Ядерные силы
- •Современные представления о природе электромагнитных и ядерных сил
- •Туннельный эффект
- •Понятие об устойчивости ядра
- •Ядерные реакции и элементарные частицы
- •Ядерные реакции
- •Реакции с медленными частицами
- •Реакции с быстрыми нейтронами
- •Деление тяжелых ядер
- •Ядерное оружие и ядерная энергетика
- •Термоядерные реакции
- •Водородная бомба
- •Управляемые термоядерные реакции
- •Элементарные частицы Виды взаимодействий элементарных частиц
- •Систематика элементарных частиц
- •Частицы и античастицы
- •Законы сохранения
Операторы импульса и энергии
Продифференцируем -функцию по :
Или
Таким образом, значение импульса мы получим как множитель перед -функцией, если применить к ней операцию ‑ . Эту операцию будем называть оператором импульса ‑ . Таким образом
Аналогично можно получить и для других координат:
Найдем теперь выражение для оператора энергии из условия, что должно выполняться равенство . Для этого продифференцируем -функцию по времени:
Отсюда
Т.е. оператор энергии имеет вид:
Уравнение Шредингера
С другой стороны, энергия частицы имеет вид: , где ‑ кинетическая энергия, ‑ потенциальная энергия. Т.е.
Квадрат импульса равен сумме квадратов проекций импульса, т.е.
Представим теперь проекции импульсов в виде операторов:
Т.е.
Аналогично и по другим координатам:
Следовательно, оператор кинетической энергии будет иметь вид:
где ‑ оператор Лапласа ‑ .
Таким образом, оператор кинетической энергии будет иметь вид:
Потенциальная энергия содержит только координаты. Поэтому оператор есть просто умножение на функцию .
Таким образом, оператор полной энергии, называемый оператором Гамильтона , будет иметь вид:
Таким образом, используя предыдущее выражение для оператора полной энергии, мы получим следующее уравнение:
(6)
Это уравнение называется уравнением Шредингера. В раскрытом виде уравнение Шредингера имеет вид:
(7)
Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид:
(8)
Специальными исследованиями было показано, что это уравнение при больших массах переходит в уравнение классической физики.
Пример
Р ассмотрим заряженную частицу в бесконечно глубокой, одномерной потенциальной яме (см. рис. 3.19).
Поскольку случай одномерный и стационарный, то уравнение Шредингера будет иметь вид:
Вне потенциальной ямы -функция будет равна нулю.
Внутри потенциальной ямы , и поэтому для этой области пространства уравнение Шредингера будет иметь вид:
Граничные условия для функции записываются как:
Преобразуем уравнение для :
Введем обозначение:
Окончательное дифференциальное уравнение для нахождения -функции будет иметь вид:
Как видим, получили дифференциальное уравнение незатухающих колебаний (I.2.4), только не во времени, а в пространстве. Решение этого уравнения имеет вид (I.2.6):
Константы интегрирования и находятся из граничных условий.
1. Удовлетворим граничному условию в нуле ‑ . Получим ‑ . Отсюда вытекает, что константа интегрирования . Таким образом, -функция будет иметь вид ‑ .
2. Удовлетворим теперь второму граничному условию ‑ . Получим ‑ . Отсюда вытекает, что должно выполняться условие ‑ , где Таким образом, для циклической частоты колебаний в пространстве получаем следующее выражение:
Следовательно, -функции будет иметь вид:
Выражение для амплитуды -функции найдем из условия нормировки ‑ . Для нашей задачи условие нормировки будет иметь вид:
Возьмем интеграл этого уравнения:
Следовательно, условие нормировки примет вид:
Окончательно -функцию представим в виде:
Г рафики самой -функции и ‑ характеризующий вероятность нахождения частицы в том или ином месте потенциальной ямы, представлены на рис. 2.
Получим теперь выражение для энергии частицы в потенциальной яме.
Из выражения для квадрата частоты следует, что . Из граничных условий вытекает, что . Объединяя эти два условия, получим:
Мы видим, что энергия частицы квантуется, принимает дискретный ряд значений.