Электрон в электронно-лучевой трубке и в атоме

Итак, соотношение неопределенностей отражает корпускулярно-волновой дуализм материальных тел. С помощью этих соотношений, можно определить в каком случае, какими представлениями необходимо пользоваться.

Например, движение электрона в электронно-лучевой трубке.

Пусть неопределенность в определении импульса составляет , т.е.

Тогда неопределенность в определении его координаты будет равна

При скорости электрона

В этом случае неопределенность локализации будет равна:

Т.е область локализации электрона ‑ ‑ гораздо меньше размеров электронно-лучевой трубки и здесь можно смело использовать корпускулярные представления об электроне.

В то же самое время для атома использование корпускулярных представлений бессмысленно.

Длина волны де-Бройля покоящихся тел

Теперь можно рассмотреть вопрос об определении длины волны покоящегося тела, например электрона.

Формально мы получим:

Но согласно соотношению неопределенности

Подставив неопределенность импульса в определение длины волны, получим:

Таким образом, длину волны покоящейся частицы мо сможем определить с точностью до области локализации.

Для малых скоростей длина волны де-Бройля соответствует области локализации, а при больших скоростях она меньше области локализации.

Для макроскопических тел при малых скоростях:

Следовательно, нельзя говорить, что скорость тела равна нулю. Нужно говорить, что тело обладает минимальной скоростью:

где ‑ точность определения координаты тела. Таким образом, длина волны де-Бройля макроскопических тел

равна точности определения координаты тела.

Физический смысл волновой функции

Мы уже отмечали, что в квантовой механике частицы описываются с помощью волновой функции . К истолкованию физического смысла функции можно подойти, сравнивая ее с толкованием электромагнитной волны в вопросе дуализма фотона. В частности плотность энергии электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуд напряженности электрического и магнитного полей.

Аналогично этому, произведение квадрата модуля волновой функции на элемент объема

(5)

физически толкуется как вероятность того, что действие частицы будет обнаружено в объеме . Т.е. толкуется как плотность вероятности обнаружения частицы.

Функция очевидно должна удовлетворять условию нормировки

Т.е. вероятность обнаружения частицы где-нибудь в пространстве равна единице ‑  частица существует.

Следует иметь ввиду, что область действия (или что то же самое область обнаружения) не совпадает с областью локализации. Например, область действия ‑ захват электрона ионом, ограничена размерами иона. А область локализации электрона гораздо больше.

Волновая функция заряженной частицы

Поскольку функция характеризует вероятность, то математический аппарат квантовой механики резко отличается от математического аппарата классической физики.

Предположим, что нам известна -функция какой либо частицы. Как теперь найти параметры этой частицы? Координаты . Импульс .

Эта задача в квантовой механике решается своеобразным приемом. Каждой величине ставится в соответствие свой оператор. Подействовав этим оператором на -функцию находят искомый параметр.

Например.

Пусть частица двигается вдоль оси и пусть ее импульс определен точно. В этом случае, как мы уже видели, частице сопоставляется монохроматическая, плоская волна. Фаза этой монохроматической волны имеет вид:

Используя соотношения и , выражение для фазы волны перепишем в виде:

Волновая функция незаряженной частицы есть гармоническая функция sin или cos от . Если частица заряжена, то волновая функция комплексна:

(6)