Лекция 2. (2 часа) Уравнения Максвелла
(Ток смещения. Система уравнений Максвелла в интегральной форме и физический смысл входящих в нее уравнений. Электромагнитное поле как единство электрического и магнитного полей.)
Теорема Гаусса для электрического поля
Здесь ничего не изменится, если полагать, что заряды меняются с течением времени. Эти, так называемые уравнения электростатики, остаются без изменений ‑ уравнения :
(I)
Это, как отмечалось, одно из уравнений Максвелла в интегральной форме ‑ поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность равен сумме зарядов внутри этой поверхности.
Ему соответствует уравнение в дифференциальной форме
(I’)
Дивергенция
вектора электрической индукции
равна плотности электрических зарядов
.
К этим уравнениям добавляют, так называемое, уравнение среды
(II)
Вектор
электрической индукции
равен произведению электрической
постоянной
на диэлектрическую проницаемость среды
и на вектор напряженности электрического
поля
.
Кроме того, к этому уравнению среды добавляют еще одно уравнение среды (2.5), являющееся законом Ома в дифференциальной форме
(III)
Вектор
плотности тока
равен произведению электропроводности
среды
на вектор напряженности электрического
поля
.
Теорема Гаусса для магнитного поля
Эта теорема отражает тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, магнитных униполей: (3.3), (3.4). Она без изменений переходит в систему уравнений Максвелла.
(IV)
Уравнение Максвелла в интегральной форме ‑ поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю.
Аналогично, существует дифференциальная форма этого уравнения
(IV’)
Дивергенция вектора магнитной индукции равна нулю.
К этим уравнениям также добавляется уравнение среды
(V)
Вектор
магнитной индукции
равен произведению магнитной постоянной
,
на магнитную проницаемость среды
и на вектор напряженности магнитного
поля
.
Циркуляция вектора электрического поля
Мы уже отмечали тот факт, что электростатическое поле потенциально, поэтому его циркуляция по замкнутому контуру равна нулю :
Здесь
‑ напряженность электростатического
поля, т.е. поля, создаваемого неподвижными
зарядами. Но электрическое поле может
создаваться в частности, как мы видели,
и меняющимся во времени магнитным полем.
Опытным обоснованием этого факта есть
явление электромагнитной индукции.
Закон электромагнитной индукции имеет
вид
Здесь
‑ ЭДС, возникающая в замкнутом
контуре,
‑ изменение магнитного потока,
пронизывающего этот контур за промежуток
времени
.
С
другой стороны ЭДС индукции можно
записать как циркуляцию вектора
напряженности сторонних сил
по контуру
Далее, выражение для магнитного потока запишем в виде
Производная по времени от магнитного потока будет выражаться как
Тогда закон электромагнитной индукции будет иметь вид
Далее,
будем рассматривать полный вектор
.
В этом случае
(VI)
Это есть уравнение Максвелла в интегральной форме ‑ циркуляция вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру равна производной по времени от потока магнитной индукции .
Ему также соответствует уравнение в дифференциальной форме
(VI’)
Ротор вектора напряженности электрического поля равен производной по времени от вектора индукции магнитного поля, взятой с обратным знаком.