Механическое сглаживание

Пример 1. Берётся циркуль. Раскрывается на к.л. ширину по усмотрению исследователя. Проводится окружность с центром в первой точке графика. Центр окружности соединяется отрезком с точкой пересечения окружности с графиком. Строится вторая окружность с центром в предыдущей точке пересечения. И т.д. Полученная ломаная – искомый сглаженный ряд.

Недостатком метода является множественность точек пересечения (Рисунок 2 – справа). Плохо и то, что точки пересечения, вообще говоря, лежат между точками графика (не соответствуют однозначно моментам времени исходного ряда).

Рисунок 2 Сглаживание циркулем.

Пример 2. На усмотрение исследователя выбираются ключевые точки (как правило – чередующиеся минимумы и максимумы) графика. В эти точки забивается по гвоздю. На каждый гвоздь надевается резинка. Через все резинки «по ходу времени» продевается нитка. Растягивая нитку в оба конца получаем сглаженный ряд (степень сглаживания зависит от силы натяжения).

Рисунок 6 Сглаживание шнурком.

С развитием ПК механическое сглаживание отошло в область курьёзов, хотя математическое описание (достаточно сложное) получаемых кривых сохраняет теоретический интерес.

Наиболее часто используются методы математического сглаживания на основе медианы, среднего арифметического и экспоненциально-взвешенного среднего.

Тестовый способ определения вида уравнения (типа) тренда

Способ основан на определении того, какая из основных характеристик ряда наиболее постоянна. Для этого:

1. Строятся соответствующие производные ряды.

2. Определяется, какой из них более постоянен (похож на константу).

3. Для этого рассчитывают параметры линейного тренда производного ряда Y`=at+b. Отношение a/b характеризует «похожесть» ряда на константу. (Очевидно, что похожесть возрастает с убыванием a, если же a=0 – ряд есть константа b).

иллюстрирует выбор между тремя видами тренда. Для этого рассчитаны три производных от дохода ряда. На основании параметров тренда рассчитаны коэффициенты «похожести». Наименьший (по модулю) коэффициент у ряда темпов роста (5,9%), следовательно ряд доходов описывается экспоненциальным трендом.

Рис. 7. Тестовое определение вида тренда.

Анализ цикличности (сезонности)

Цикличность – закономерное периодическое отклонение от основной тенденции (тренда)

Сезонность - вид цикличности, обусловленный временем года. В общем - в рамках года. (электроснабжение, транспорт, с-х и т.д.)

Фаза цикла – номер наблюдения внутри периода цикла. Если период цикла – N, говорят о наличии N фаз.

Задачи:

определение наличия циклов, их периодов; силы и характера в различных фазах

выявление факторов, вызвавших их

оценка последствий для выявления тренда и уточнения трендового прогноза

математическое моделирование

Методы расчета сезонной составляющей (наиболее применимые):

коэффициенты и индексы сезонности

аналитическая функция

изменяющееся по фазам цикла семейство трендов

Определение сезонной составляющей при аддитивной сезонности

Если ряд отклоняется от значений тренда в каждой фазе цикла на одну и ту же величину, говорят об аддитивной сезонности.

Аддитивная сезонность моделируется расчётом коэффициентов сезонности. Число коэффициентов равно числу фаз. Коэффициент [фазы] показывает [величину] отклонение ряда от тренда [в данной фазе].

Коэффициент рассчитывается как среднеарифметическое отклонение ряда от тренда в данной фазе.

Пусть N-период сезонности, M-длина ряда. Тогда N/M - количество циклов. Kn – коэффициент фазы n.

При аддитивной сезонности уравнение разложения динамического ряда на компоненты имеет вид: .

Пример: Прогноз моделирования налоговых поступлений (тыс. руб) по месяцам.

Рисунок 8 Аддитивная сезонность

Периодичность явно равна 3-м (квартальная). Следовательно, нужно рассчитать 3 коэффициента сезонности. Проиллюстрирован расчет коэффициента для третьего месяца квартала (К3).

Определение сезонной составляющей при мультипликативной сезонности.

Если ряд отклоняется от значений тренда в каждой фазе цикла в одно и то же число раз, говорят о мультипликативной сезонности.

Наглядно разница между аддитивной и мультипликативной сезонностью при растущем тренде такова: размах аддитивной неизменен, а мультипликативной – растёт со временем.

Рис. 9. Сравнительный вид аддитивной (add) и мультипликативной (mult) сезонностей

Мультипликативная сезонность моделируется расчётом индексов сезонности, которые показывают [разы] отклонения ряда от тренда [по фазам].

Индекс рассчитывается как среднее относительное отклонение ряда от тренда в данной фазе.

Варианты вычисление индексов

При мультипликативной сезонности уравнение разложения динамического ряда на компоненты имеет вид:

Выявление сезонности с использованием тригонометрических функций

Если в динамическом ряду много плавных, симметричных колебаний (интенсивность роста = падению), удобно произвести разложение в ряды Фурье:

,

где w-момент начала цикла, i – номер цикла, d - период цикла (в радианах).

Исходный ряд предполагается состоящим из тренда и серии волн различной длины и амплитуды. В основном, применяется в техническом прогнозировании (регулярные, периодические процессы).

На основании проведённого моделирования основных компонент ряда (тренда и сезонности) можно производить предсказания о возможных значениях этого ряда. В статистике это выражается в экстра- и интерполяции.

Экстраполяция – это распространение результатов, полученных из наблюдений над одной частью явления, на другую его часть [9, с. 180]. Метод экстраполяции тренда относится к классу пассивных методов прогнозирования, так как предполагает строгую инерционность развития, которая представляется в виде проектирования прошлых тенденций в будущее, а главное независимость характеристик объекта прогнозирования от тех или иных факторов [4, с. 175; 15, с. 133; 21, с. 151].

Один из недостатков метода экстраполяции тренда при краткосрочном прогнозировании заключается в том, что экстраполяция прошлых усреднённых показателей приводит к тому, что остаются незамеченными необычные отклонения в обе стороны от тенденции (в то время как для краткосрочного прогноза предвидение этих отклонений является основной задачей) [4, с. 175; 15, с. 133]. Кроме того, следует учитывать, что методы экстраполяции тренда не всегда дают удовлетворительные прогнозы из-за того, что они основаны на учете только части причин, по которым происходит изменение прогнозируемого показателя [9, с. 179].

Общая классификация методов экстраполяции тренда показана на рис. 10, заимствованном из [7, с. 124].

Для построения модели экстраполяции тренда не требуется знания ни производства, ни экономических условий, в которых протекает исследуемый процесс. Модель экстраполяции тренда строится исключительно на основе имеющейся числовой информации [18, с. 8].

Рис. 10. Общая классификация методов экстраполяции тренда

Упрощенные методы прогнозирования используются при недостаточной информации о предыстории объекта прогнозирования (когда нет длинного динамического ряда характеристик объекта) [7, с. 125]. Они используют модели прогнозирования на основе: 1) предыдущего значения прогнозируемого показателя; 2) абсолютного прироста за предыдущий интервал времени; 3) коэффициента роста за предыдущий интервал времени; 4) простого среднего значения; среднего абсолютного прироста; 5) среднего коэффициента роста.

Аналитические методы экстраполяции тренда основаны на применении метода наименьших квадратов к динамическому ряду и представлении закономерности развития явления во времени в виде уравнения тренда на основе подходящей кривой роста (например, полинома, экспоненты, модифицированной экспоненты, кривой Гомперца) [7, с. 125].

Адаптацией модели называется процесс её корректировки на основании вновь поступившей информации. Целью адаптации модели является приспособление модели к изменившимся условиям её функционирования. Адаптация направлена на повышение адекватности модели путем последовательного использования текущих (новых) значений признаков, неизвестных при её построении [14, с. 39].

Адаптивными методами прогнозирования называются методы прогнозирования, позволяющие строить самокорректирующиеся (самонастраивающиеся) модели прогнозирования, которые способны оперативно реагировать на изменение условий путем учёта результата прогноза, сделанного на предыдущем шаге, и учёта различной информационной ценности уровней ряда [6, с. 116].

Адаптивные методы используются в условиях сильной колеблемости уровней динамического ряда и позволяют при экстраполяции тренда учитывать степень влияния предыдущих уровней на последующие значения динамического ряда. Адаптивные методы прогнозирования используют модели прогнозирования на основе скользящих и экспоненциальных средних, а также модели авторегрессии [7, с. 125].

Модель авторегрессии – это модель стационарного процесса, выражающая значение прогнозируемого показателя в виде линейной комбинации конечного числа предшествующих значений этого показателя и аддитивной случайной оставляющей [10, с. 55].

Следует отметить, что логические методы прогнозирования (исторические аналогии, сценарный подход) в отличие от математических методов (прогнозной экстраполяции, моделирования) требуют глубокого знания производства, предметной области и макроэкономической ситуации. Некоторое время назад большинство специалистов отдавали предпочтение каузальным (причинно-следственным) моделям, основанным на логических методах. Однако исследования по применению эконометрических моделей в бизнесе показали, что модели временных рядов в некоторых случаях дают не худшие, а даже лучшие результаты по сравнению с каузальными моделями. Объяснение этому факту находят в том, что числовая информация, представляющая некоторый экономический или бизнес-процесс, уже содержит в себе, хотя и в неявном виде, будущие экономические или другие изменения и закономерности. Поэтому в современном прогнозировании используются и логические, и математические методы, причём как параллельно, так и в одной и той же модели [18, с. 8].