Сглаживание по нечётной базе
Сглаженный
ряд рассчитывается по формуле:
.
В частности, если длина базы n=3, имеем:
.
Т.е., значение сглаженного ряда в момент
t, определяется как среднее значений
исходного ряда в тот же момент времени
и в (n-1)/2 моменты времени до и после
момента t.
Рис. 166 показывает сглаживание по базам в 3 и 5 периодов. Чем больше база – тем меньше длина сглаженных рядов.
Рис. 16. Скользящее среднее нечётной базы.
Сглаживание по четной базе
Перенести формулу сглаживания по нечетной базе на четную базу непосредственно не удаётся – непонятно к какому периоду относить усреднённые значения. В зависимости от целей сглаживания используют следующие подходы.
Отнесение результата сглаживания к моменту, разделяющему средние периоды.
.
Если длина базы n=2, имеем:
.
Данный способ часто используется в статистике, но неудобен тем, что исходный и сглаженный ряд несопоставимы, т.к. их значения относятся к различным периодам.
Отнесение результата сглаживания к последнему периоду.
.
Если длина базы n=2, имеем:
.
Сглаженный ряд, полученный данным способом, отстаёт от ряда, полученного предыдущим способом, на n/2-0.5 периода. Т.е., является смещённым. (На его основе, однако, можно определить форму тренда). Это сглаживание используется как один из индикаторов биржевой конъюнктуры.
MS Excel использует именно этот метод.
Отнесение результата сглаживания к среднему периоду расширенной базы сглаживания.
У четной базы нет среднего периода. Если расширить её на 1 период – средний период появится. Чтобы «количество» периодов осталось чётным, будем считать крайние периоды за полпериода.
.
При
n=2 имеем:
.
При n=4 -
и т.п.
Сглаженный ряд, полученный данным способом, идентичен сглаженному ряду, полученному первым способом и повторно сглаженным по базе = 2.
Данный способ получил наибольшее распространение.
Взвешенное сглаживание
В предыдущем методе крайние наблюдения включались в сглаживание с весами ½. Данный подход можно расширить, в зависимости от представлений о природе изучаемого явления. Например, если предполагается, что колебания могут быть вызваны случайными задержками передачи информации, - веса должны напоминать нормальное распределение. Если же предполагать наличие затухающего последействия (например – внесение удобрений), то веса должны убывать со временем. Выбор весов – задача содержательного исследования. «Нормальное» распределение иногда моделируется на основе треугольника Паскаля.
|
Треугольник Паскаля – в первой строчке и первом столбце содержит 1. Значение прочих ячеек определяется как сумма двух ячеек – сверху и слева. Сумма элементов диагонали треугольника из N элементов равна 2N-1. Очевидно, что для расчета весов используются только диагонали с нечётным числом элементов. |
При
n=3 имеем:
- то же, что и в предыдущем случае.
При
n=5 имеем
и т.п.
Достоинства и недостатки метода
Достоинства |
и недостатки |
простота, наглядность, лёгкость интерпретации |
Сокращение длины ряда при сглаживании |
Иногда может быть недостатком то, что:
Период влияние наблюдений конечен (в границах базы сглаживания)
В сглаживании участвуют как предыдущие, так и будущие наблюдения.
Прогнозирование на основе сглаживания
Сглаженный ряд для прогнозирования может быть использован по-разному.
Во-первых, для сглаженного ряда может быть построен тренд, на основе которого – прогноз. С одной стороны, тренд сглаженного ряда, по сравнению с трендом исходного, более точен, т.к. устранены выбросы. С другой стороны, он менее точен, т.к. сглаженный ряд короче (т.е. увеличивается горизонт прогноза).
Во-вторых, сглаженный ряд может быть рассмотрен как прогноз, если результат усреднения относить не к середине базы и даже не к её концу, а к какому-либо моменту за границами базы.
,
где g – горизонт прогноза.
Данный прогноз целесообразен только для чисто колебательных процессов, при прогнозировании на 1 цикл вперёд (g=n).