Трендовая модель прогнозирования

Временной (динамический) ряд – изменение признака со временем. Или: это вариационный ряд, где наблюдения – моменты времени.

При прогнозировании динамического ряда изучается зависимость признака от номера наблюдения – момента времени.

Предполагается, что зависимость может быть разбита на три составляющие: тренд, цикличность и ошибку. Другими словами, выдвигается гипотеза о том, что исходный динамический ряд Yt можно разложить на сумму трёх компонент – тренда , цикличности (от ни одной до нескольких) и ошибки . Данные компоненты непосредственно не наблюдаемы – т.е. гипотетичны.

Тренд – [гипотетическая] детерминированная составляющая динамического ряда, описываемая математической функцией, как правило – монотонной.

Цикличность – детерминированная периодическая составляющая динамического ряда, описываемая, как правило, алгоритмическим путём.

Иногда, вышеназванные понятия, соединяют в понятие тренда в широком смысле слова, как детерминированной составляющей.

Сезонность – вид цикличности, если период кратен календарному периоду.

Ошибка – случайная (недетерминированная) составляющая.

Под случайной ошибкой здесь понимается – математически неописанная исследователем.

Рисунок 1 Разложение динамического ряда на компоненты

Задачи анализа временного ряда

Задачи - выявление (анализ) и [математическое] описание его компонент, прежде всего - тренда.

Этапы (задачи) анализа тренда:

1. Первоначальная подготовка данных (сопоставимость, разрывы, выбросы)

2. Анализ временного ряда

3. Выбор типа тренда и базы (периода) его построения. Определить тип тренда можно следующими способами:

3.1. Визуально

3.2. На основе теории канала

3.3. На основе агрегирования ряда данных

3.4. На основе сглаживания ряда данных

3.5. На основе тестирования ряда данных

3.6. На основе содержательного анализа изучаемого явления, с опорой на опыт исследователя в данном вопросе.

4.Расчёт параметров уравнения тренда

5.Анализ и моделирование цикличности (сезонности), при её наличии.

6.Анализ ряда ошибки на случайность. Если ряд ошибки может быть признан случайным, то тренд и цикличность смоделированы корректно и их можно использовать для получения прогноза (п.7). В противном случае необходимо провести анализ заново (вернуться к п.1)

7. Получение прогноза на основе детерминированных компонент.

Первоначальная подготовка данных

Собранные в динамический ряд данные должны быть сопоставимы:

по физической единице измерения (метры, тонны; тонны, кг)

по стоимостной оценке (учет инфляции)

по времени, к которому приурочены данные (стандартный месяц)

Из динамического ряда желательно устранить разрывы и выбросы.

Разрыв – отсутствие данных за часть периодов.

Выброс – резко отличное по величине наблюдение от соседних.

Разрывы и выбросы устраняются содержательно (собираются дополнительные данные, проверяется наличие ошибок) и формально – проведением аппроксимации.

Аппроксимация – заполнение значений в динамическом ряду на основании известных значений ряда.

Способы аппроксимации:

повторить последнее известное значение (слева или справа)

взять среднее (в различных видах) значение от известных соседних

взять трендовое значение (Способ применим, если тренд уже построен)

Задача построения аналитического тренда

Тренд может строиться :

Цель	Критерий	Тип математ. функции
заполнения пропущенных наблюдений внутри известных данных	Наилучшее описание наблюдаемых значений [ряда]	[скорее] сложный, [чем простой]
определения наиболее вероятных значений за временными границами известных данных	описание тенденции [ряда], достаточно устойчивой для сохранения за пределами его	[скорее], простой [чем сложный]

Определение базы построения тренда

База тренда должна соответствовать периоду сохранения тенденции [и задаче построения тренда].

Для соц.-эк. систем считается типичным выбор базы тренда длиной в три горизонта предсказания.

Для определения смены тенденции обычно применяют [эмпирический] метод каналов и/или сигнальных (пиковых) значений рядов абсолютных и относительных приростов. При желании, вместо прямых границ канала можно использовать произвольные кривые [границы].

Наиболее употребимые виды трендов

Таблица 1 Тренды

Вид Тренда	Формула	Осн. Характеристика	Достоинства	Недостатки	Область применения
Полиномы:			Простота, сводимость, легкая интерпретация	Малая точность	краткосрочное пронозирование, аппроксимация
Константа	Y=a	Пост. уровень
Прямая	Y=at+b	Пост. рост
Парабола	Y=att+bt+c	Пост. прирост		Чрезмерный рост со временем
Показательная	Y=a*b^t	Пост. темп роста	Смысл Простота	Функция принимает только положительные значения	Процессы неограниченного роста (население, НТП)
Экспоненциальная	Y=a*exp(bt)
Степенная	Y=a*t^b	(вид полинома)			Физ. законы (притяжение)
Логарифмическая	Y=a*log bt	(производная от линейной) – линейный процесс при экспоненциальном времени	Замедляет рост со временем	Непонятна интерпретация	Процессы условного насыщения, энтропия
логистическая, S – образная	(варианты)	Отражение идеи о развитии процесса	Теоретическое обоснование	Сложность расчетов	Процесс развития в замкнутой среде

Прим. Логистическая кривая сложна для математического описания. Поэтому делится точкой перелома на экспоненциальную и логарифмическую.

Выявить сразу (графически) тип тренда бывает трудно, поэтому можно произвести сглаживание ряда.

Сглаживание - построение производного ряда меньшей колеблемости.

Мерой колеблемости могут служить первичные характеристики ряда - среднее, мода, медиана, дисперсия, СКО (ст.ошибка), минимум, максимум и т.д.

Размах колебаний уменьшается за счет усреднения значений в исходном ряду за ряд наблюдений. Различают механическое (карандашом по бумаге) и аналитическое (математическим преобразованием) сглаживание.