Идентифицирующие свойства для корреляционных и автокорреляционных функций для модификаций модели arma

Функция	ARMA(1,0)	ARMA(2,0)	ARMA(0,1)	ARMA(0,2)	ARMA(1,1)
Автокорреляционная функция	Экспоненциально затухает (монотонно или знакопеременно)	Экспоненциально затухает или имеет форму синусоидальной волны	Выброс (пик) на лаге 1	Выбросы (пики) на лагах 1, 2	Экспоненциально затухает от значения (монотонно или знакопеременно)
Частная автокорреляционная функция	Выброс (пик) на лаге 1	Выбросы (пики) на лагах 1, 2	Экспоненциально затухает (монотонно или знакопеременно)	Экспоненциально затухает или имеет форму синусоидальной волны	Экспоненциально убывает от значения (монотонно или знакопеременно)

Идентификация модели ARMA (1,1) включает следующие этапы [2, с. 125-126; 16, с. 276-277]:

1. оценка параметра по формуле ;

2. определение параметра из решения квадратного уравнения вида

,

где , , - выборочная автоковариация -го порядка (из двух корней уравнения выбирается тот, который удовлетворяет условию );

3. оценка дисперсии белого шума по формуле

.

2.5. Модель arima для прогнозирования нестационарных временных рядов

Обобщением модели авторегрессии-скользящего среднего является модель авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего, предложенная Дж. Боксом и Г. Дженкинсом. В англоязычной литературе эта модель называется AutuRegressive Integrated Moving Average model, или сокращенно ARIMA-model. Модель Бокса-Дженкинса предназначена для описания и прогнозирования нестационарных однородных временных рядов [6, с. 156; 16, с. 287]. Временной ряд называется нестационарным однородным, если его случайный остаток , получающийся вычитанием из ряда его неслучайной составляющей , представляет собой стационарный (в широком смысле) временной ряд [16, с. 287]. Реальные временные ряды, встречающиеся в экономике, финансах, торговле и маркетинге, за редкими исключениями являются нестационарными однородными [16, с. 287]. Поэтому модель Бокса-Дженкинса является одной их наиболее популярных моделей для краткосрочного прогноза временных рядов в экономике [2, с. 127].

Модель ARIMA предназначена для описания нестационарных временных рядов со следующими свойствами [2, с. 127; 16, с. 287]:

1. временной ряд аддитивно включает в себя неслучайную составляющую , имеющую вид алгебраического полинома от времени степени ( ), коэффициенты которого могут иметь как стохастическую, так и нестохастическую природу;

2. ряд , , получившийся из исходного ряда после применения к нему метода последовательных разностей может быть описан моделью ARMA( , ).

Модель ARIMA( , , ) имеет вид [2, с. 127]

,

где - -я последовательная разность временного ряда ( , и т.д.).

В данной модели параметры и определяют соответственно порядок авторегрессионной составляющей и порядок скользящего среднего (аналогично модели ARMA( , )), а параметр - порядок последовательной разности. В экономических исследованиях наиболее распространены модели ARIMA( , , ) со значениями параметров, не превышающими 2 [6, с. 156].

Методология построения модели ARIMA для исследуемого временного ряда включает следующие этапы [6, с. 157; 11, с. 173]:

1. идентификация пробной модели;

2. оценивание параметров модели и диагностическая проверка адекватности модели;

3. использование модели для прогнозирования.

Укрупненная структурная схема подбора модели ARIMA представлена на рис. 3.

Сущность этапов этой схемы заключается в следующем [6, с. 157-160].

1. Получение стационарного ряда методом последовательных разностей (блоки 1,2) и, соответственно, определение порядка модели. В качестве визуального критерия стационарности временного ряда авторы модели Дж. Бокс и Г. Дженкинс предложили использовать быстрое затухание автоковариационной функции. Для этого достаточно проанализировать первые 15-20 значений автокорреляционной функции исходного ряда и его первых и вторых разностей, так как на практике, как правило [11, с. 175]. Правила определения порядка последовательной разности изложены в [2, с. 131-140].

Рис. 31. Укрупненная структурная схема подбора модели ARIMA

2. Определение порядка авторегрессии и порядка скользящего среднего полученной ARMA( , ) – модели (блок 3) на основе анализа характера поведения выборочных автокорреляционной и частной автокорреляционной функций. Идентификационные свойства этих функций для наиболее важных моделей ARIMA(1,0, ), ARIMA(0,1, ), ARIMA(2,0, ), ARIMA(0,2, ), ARIMA(1,1, ) приведены в [11, с. 176-177]. В результате выполнения этого этапа может формироваться базовый набор ARMA-моделей, включающий 1, 2 или даже большее число моделей.

3. Оценка параметров и моделей (блок 4).

4. Проверка адекватности каждой модели из сформированного набора ARIMA-моделей (блок 5) на основе анализа ее ряда остатков. У адекватной модели остатки должны быть похожи на белый шум, то есть их выборочные автокорреляции не должны существенно отличаться от нуля.

При проверке значимости коэффициентов автокорреляционной функции используется подход Барлетта, основанный на проверке значимости каждого коэффициента автокорреляции ряда остатков отдельно, или критерий Бокса-Пирса, позволяющий сразу проверить значимость множества первых коэффициентов автокорреляции ряда остатков.

Если в результате проверки несколько моделей оказываются адекватны исходным данным, то при окончательном выборе следует учесть два требования: 1) повышение точности (качество подгонки модели); 2) уменьшение числа параметров модели.

Такой выбор осуществляется с использованием одного из информационных критериев Акайка, Шварца или Хеннана-Куинна, рассмотренных в [6, с. 160-161; 2, с. 63].

5. Точечный и интервальный прогноз на основе выбранной модели (блок 6).

При прогнозировании уровней временных рядов с использованием модели ARIMA необходимо учитывать следующие обстоятельства:

1. модели ARIMA предназначены для прогнозирования протяженных временных рядов [10, с. 194] (имеющих 50 и более уровней ряда [11, с. 173]);

2. при меньшем количестве уровней ряда подбирать какие-либо сложные функции для описания ряда нецелесообразно, так как в этом случае точность моделей Брауна будет не хуже точности модели ARIMA [11, с. 194];

3. успех применения модели ARIMA зависит от практического опыта и квалификации исследователя, а процедуры автоматического выбора модели призваны только облегчить его аналитическую деятельность [6, с. 163].