2.4.2. Модели скользящего среднего

Моделью скользящего среднего порядка называется модель стационарного процесса, выражающая значение уровня временного ряда в виде линейной комбинации конечного числа предыдущих значений ошибок модели и аддитивной случайной составляющей. В англоязычной статистической литературе эти модели называются Moving Average models и кратко обозначаются MA( )-models. Следует отметить, что термин “скользящее среднее” в названии этого класса моделей употреблен в ином смысле, чем в методах сглаживания временного ряда. В частности, сумма весовых коэффициентов в этих моделях не равна единице [16, с. 261].

Модель скользящего среднего порядка имеет вид [6, с 151]

.

Временной ряд, описываемый моделью скользящего среднего является стационарным по определению, так как он представляет собой линейную комбинацию стационарных процессов белого шума [2, с. 118].

Наиболее часто на практике используются модели скользящего среднего первого и второго порядков. Модели скользящего среднего первого порядка MA(1) и второго порядка MA(2) соответственно имеют вид [6, с 151]:

,

.

Данные модели стационарны при любых значениях параметров , и .

Идентификация модели MA(1) производится в следующей последовательности [2, с. 120]:

1. оценка коэффициента автокорреляции первого порядка по формуле

;

2. определение параметра из решения квадратного уравнения вида

(из двух решений данного уравнения в качестве оценки параметра выбирается решение, меньшее единицы);

3. оценка дисперсии белого шума по формуле

.

Идентификация параметров и модели MA(2) сводится к решению системы из двух нелинейных уравнений вида

2.4.3. Модели авторегрессии - скользящего среднего

Модель авторегрессии - скользящего среднего представляет собой смешанную модель стационарного временного ряда, в которую включается члены, описывающие авторегрессионные составляющие, и члены, моделирующие остаток в виде скользящего среднего [6, с. 153-154]. В общем случае она имеет вид [6, с. 154]

.

Данная модель может истолковываться как линейная модель множественной регрессии, в которой в качестве объясняющих переменных выступают предыдущие значения самой зависимой переменной, а в качестве регрессионного остатка – скользящее среднее из элементов белого шума. Поэтому сущность этой модели лучше отражает название “авторегрессионная модель со скользящими средними в остатках”. Однако для краткости чаще используется название “модель авторегрессии – скользящего среднего”. В англоязычной литературе эти модели называют AutoRegressive - Moving Average, или сокращенно ARMA [16, с. 270].

В практических экономических задачах, как правило, используют пять видов модели ARMA, идентифицирующие свойства автокорреляционных и частных автокорреляционых функций для которых представлены в табл. 6, заимствованной из [6, с. 155].

Модели ARMA(1,0) и ARMA(2,0) – это модели авторегрессии AR(1) и AR(2) соответственно, а модели ARMA(0,1) и ARMA(0,2) - модели скользящего среднего MA(1) и MA(2) соответственно.

Наиболее распространенная на практике модель ARMA (1,1) имеет вид [6, с. 154]

Таблица 16